Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28668 / 4554
↖ ↑ ↗
← N 78.184088°
E134.956055°		 ← 250.15 m → N 78.184088°
E134.967041°		 →
↑
250.13 m
↓
↑
250.13 m
↓
N 78.181838°
E134.956055°		 ← 250.20 m →
62 575 m²		 N 78.181838°
E134.967041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874893188476562 y=0.138992309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874893188476562 × 215)
    floor (0.874893188476562 × 32768)
    floor (28668.5)     		tx = 28668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138992309570312 × 215)
    floor (0.138992309570312 × 32768)
    floor (4554.5)     		ty = 4554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28668 / 4554 ti = "15/28668/4554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28668/4554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28668 ÷ 215
    28668 ÷ 32768     		x = 0.8748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4554 ÷ 215
    4554 ÷ 32768     		y = 0.13897705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8748779296875 × 2 - 1) × π
    0.749755859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35542750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13897705078125 × 2 - 1) × π
    0.7220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26837409002106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35542750} λ = 2.35542750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26837409002106))-π/2
    2×atan(9.6636757669188)-π/2
    2×1.46768304022442-π/2
    2.93536608044883-1.57079632675     		φ = 1.36456975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35542750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36456975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.184088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28668 KachelY 4554 2.35542750 1.36456975 134.956055 78.184088
    Oben rechts KachelX + 1 28669 KachelY 4554 2.35561925 1.36456975 134.967041 78.184088
    Unten links KachelX 28668 KachelY + 1 4555 2.35542750 1.36453049 134.956055 78.181838
    Unten rechts KachelX + 1 28669 KachelY + 1 4555 2.35561925 1.36453049 134.967041 78.181838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36456975-1.36453049) × R
    3.92600000000964e-05 × 6371000     		dl = 250.125460000614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36456975-1.36453049) × R
    3.92600000000964e-05 × 6371000     		dr = 250.125460000614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35542750-2.35561925) × cos(1.36456975) × R
    0.000191750000000379 × 0.204767899955633 × 6371000     		do = 250.152503726369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35542750-2.35561925) × cos(1.36453049) × R
    0.000191750000000379 × 0.204806327900294 × 6371000     		du = 250.199448811864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36456975)-sin(1.36453049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204767899955633-0.204806327900294)×R²
    abs(2.35561925-2.35542750)×3.8427944661884e-05×R²
    0.000191750000000379×3.8427944661884e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.8427944661884e-05×40589641000000     		ar = 62575.38115344m²