Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28667 / 42647
↖ ↑ ↗
← S 47.602459°
W 22.527466°		 ← 411.84 m → S 47.602459°
W 22.521973°		 →
↑
411.82 m
↓
↑
411.82 m
↓
S 47.606163°
W 22.527466°		 ← 411.81 m →
169 597 m²		 S 47.606163°
W 22.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437431335449219 y=0.650749206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437431335449219 × 216)
    floor (0.437431335449219 × 65536)
    floor (28667.5)     		tx = 28667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650749206542969 × 216)
    floor (0.650749206542969 × 65536)
    floor (42647.5)     		ty = 42647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28667 / 42647 ti = "16/28667/42647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28667/42647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28667 ÷ 216
    28667 ÷ 65536     		x = 0.437423706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42647 ÷ 216
    42647 ÷ 65536     		y = 0.650741577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437423706054688 × 2 - 1) × π
    -0.125152587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39317845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650741577148438 × 2 - 1) × π
    -0.301483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.94713726269307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39317845} λ = -0.39317845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94713726269307))-π/2
    2×atan(0.387849747646328)-π/2
    2×0.369988340030369-π/2
    0.739976680060739-1.57079632675     		φ = -0.83081965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39317845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.527466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83081965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.602459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28667 KachelY 42647 -0.39317845 -0.83081965 -22.527466 -47.602459
    Oben rechts KachelX + 1 28668 KachelY 42647 -0.39308258 -0.83081965 -22.521973 -47.602459
    Unten links KachelX 28667 KachelY + 1 42648 -0.39317845 -0.83088429 -22.527466 -47.606163
    Unten rechts KachelX + 1 28668 KachelY + 1 42648 -0.39308258 -0.83088429 -22.521973 -47.606163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83081965--0.83088429) × R
    6.46399999999492e-05 × 6371000     		dl = 411.821439999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83081965--0.83088429) × R
    6.46399999999492e-05 × 6371000     		dr = 411.821439999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39317845--0.39308258) × cos(-0.83081965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674270687991092 × 6371000     		do = 411.836289894436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39317845--0.39308258) × cos(-0.83088429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674222950958275 × 6371000     		du = 411.807132698615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83081965)-sin(-0.83088429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674270687991092-0.674222950958275)×R²
    abs(-0.39308258--0.39317845)×4.773703281713e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.773703281713e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.773703281713e-05×40589641000000     		ar = 169597.010227942m²