Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28665 / 4561
↖ ↑ ↗
← N 78.168330°
E134.923096°		 ← 250.47 m → N 78.168330°
E134.934082°		 →
↑
250.51 m
↓
↑
250.51 m
↓
N 78.166077°
E134.923096°		 ← 250.52 m →
62 750 m²		 N 78.166077°
E134.934082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874801635742188 y=0.139205932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874801635742188 × 215)
    floor (0.874801635742188 × 32768)
    floor (28665.5)     		tx = 28665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139205932617188 × 215)
    floor (0.139205932617188 × 32768)
    floor (4561.5)     		ty = 4561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28665 / 4561 ti = "15/28665/4561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28665/4561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28665 ÷ 215
    28665 ÷ 32768     		x = 0.874786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4561 ÷ 215
    4561 ÷ 32768     		y = 0.139190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874786376953125 × 2 - 1) × π
    0.74957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35485226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139190673828125 × 2 - 1) × π
    0.72161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2670318568317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35485226} λ = 2.35485226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2670318568317))-π/2
    2×atan(9.65071356167031)-π/2
    2×1.46754552678058-π/2
    2.93509105356116-1.57079632675     		φ = 1.36429473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35485226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.923096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36429473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.168330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28665 KachelY 4561 2.35485226 1.36429473 134.923096 78.168330
    Oben rechts KachelX + 1 28666 KachelY 4561 2.35504400 1.36429473 134.934082 78.168330
    Unten links KachelX 28665 KachelY + 1 4562 2.35485226 1.36425541 134.923096 78.166077
    Unten rechts KachelX + 1 28666 KachelY + 1 4562 2.35504400 1.36425541 134.934082 78.166077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36429473-1.36425541) × R
    3.93199999999538e-05 × 6371000     		dl = 250.507719999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36429473-1.36425541) × R
    3.93199999999538e-05 × 6371000     		dr = 250.507719999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35485226-2.35504400) × cos(1.36429473) × R
    0.000191739999999996 × 0.205037084687805 × 6371000     		do = 250.468287447525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35485226-2.35504400) × cos(1.36425541) × R
    0.000191739999999996 × 0.205075569144637 × 6371000     		du = 250.515299118662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36429473)-sin(1.36425541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205037084687805-0.205075569144637)×R²
    abs(2.35504400-2.35485226)×3.84844568325216e-05×R²
    0.000191739999999996×3.84844568325216e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.84844568325216e-05×40589641000000     		ar = 62750.1280221792m²