Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28665 / 42595
↖ ↑ ↗
← S 47.409503°
W 22.538452°		 ← 413.40 m → S 47.409503°
W 22.532959°		 →
↑
413.35 m
↓
↑
413.35 m
↓
S 47.413220°
W 22.538452°		 ← 413.37 m →
170 871 m²		 S 47.413220°
W 22.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437400817871094 y=0.649955749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437400817871094 × 216)
    floor (0.437400817871094 × 65536)
    floor (28665.5)     		tx = 28665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649955749511719 × 216)
    floor (0.649955749511719 × 65536)
    floor (42595.5)     		ty = 42595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28665 / 42595 ti = "16/28665/42595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28665/42595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28665 ÷ 216
    28665 ÷ 65536     		x = 0.437393188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42595 ÷ 216
    42595 ÷ 65536     		y = 0.649948120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437393188476562 × 2 - 1) × π
    -0.125213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39337020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649948120117188 × 2 - 1) × π
    -0.299896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.942151825132584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39337020} λ = -0.39337020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942151825132584))-π/2
    2×atan(0.389788176288648)-π/2
    2×0.371672201876653-π/2
    0.743344403753307-1.57079632675     		φ = -0.82745192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39337020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.538452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82745192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.409503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28665 KachelY 42595 -0.39337020 -0.82745192 -22.538452 -47.409503
    Oben rechts KachelX + 1 28666 KachelY 42595 -0.39327432 -0.82745192 -22.532959 -47.409503
    Unten links KachelX 28665 KachelY + 1 42596 -0.39337020 -0.82751680 -22.538452 -47.413220
    Unten rechts KachelX + 1 28666 KachelY + 1 42596 -0.39327432 -0.82751680 -22.532959 -47.413220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82745192--0.82751680) × R
    6.48800000000449e-05 × 6371000     		dl = 413.350480000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82745192--0.82751680) × R
    6.48800000000449e-05 × 6371000     		dr = 413.350480000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39337020--0.39327432) × cos(-0.82745192) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.676753875318967 × 6371000     		do = 413.396106334295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39337020--0.39327432) × cos(-0.82751680) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.676706108632656 × 6371000     		du = 413.366927983267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82745192)-sin(-0.82751680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676753875318967-0.676706108632656)×R²
    abs(-0.39327432--0.39337020)×4.77666863117898e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77666863117898e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77666863117898e-05×40589641000000     		ar = 170871.448600541m²