Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28664 / 21208
↖ ↑ ↗
← N 53.461890°
W 22.543945°		 ← 363.64 m → N 53.461890°
W 22.538452°		 →
↑
363.66 m
↓
↑
363.66 m
↓
N 53.458620°
W 22.543945°		 ← 363.66 m →
132 244 m²		 N 53.458620°
W 22.538452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437385559082031 y=0.323616027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437385559082031 × 216)
    floor (0.437385559082031 × 65536)
    floor (28664.5)     		tx = 28664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323616027832031 × 216)
    floor (0.323616027832031 × 65536)
    floor (21208.5)     		ty = 21208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28664 / 21208 ti = "16/28664/21208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28664/21208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28664 ÷ 216
    28664 ÷ 65536     		x = 0.4373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21208 ÷ 216
    21208 ÷ 65536     		y = 0.3236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3236083984375 × 2 - 1) × π
    0.352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1083011192157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39346607} λ = -0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1083011192157))-π/2
    2×atan(3.02920775766441)-π/2
    2×1.25194116958494-π/2
    2.50388233916989-1.57079632675     		φ = 0.93308601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93308601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.461890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28664 KachelY 21208 -0.39346607 0.93308601 -22.543945 53.461890
    Oben rechts KachelX + 1 28665 KachelY 21208 -0.39337020 0.93308601 -22.538452 53.461890
    Unten links KachelX 28664 KachelY + 1 21209 -0.39346607 0.93302893 -22.543945 53.458620
    Unten rechts KachelX + 1 28665 KachelY + 1 21209 -0.39337020 0.93302893 -22.538452 53.458620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93308601-0.93302893) × R
    5.70800000000427e-05 × 6371000     		dl = 363.656680000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93308601-0.93302893) × R
    5.70800000000427e-05 × 6371000     		dr = 363.656680000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39346607--0.39337020) × cos(0.93308601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595357332338995 × 6371000     		do = 363.636977372476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39346607--0.39337020) × cos(0.93302893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595403192925402 × 6371000     		du = 363.664988457778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93308601)-sin(0.93302893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595357332338995-0.595403192925402)×R²
    abs(-0.39337020--0.39346607)×4.58605864068762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58605864068762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58605864068762e-05×40589641000000     		ar = 132244.10916189m²