Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28662 / 4542
↖ ↑ ↗
← N 78.211053°
E134.890136°		 ← 249.59 m → N 78.211053°
E134.901123°		 →
↑
249.62 m
↓
↑
249.62 m
↓
N 78.208808°
E134.890136°		 ← 249.64 m →
62 307 m²		 N 78.208808°
E134.901123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874710083007812 y=0.138626098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874710083007812 × 215)
    floor (0.874710083007812 × 32768)
    floor (28662.5)     		tx = 28662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138626098632812 × 215)
    floor (0.138626098632812 × 32768)
    floor (4542.5)     		ty = 4542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28662 / 4542 ti = "15/28662/4542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28662/4542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28662 ÷ 215
    28662 ÷ 32768     		x = 0.87469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4542 ÷ 215
    4542 ÷ 32768     		y = 0.13861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87469482421875 × 2 - 1) × π
    0.7493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35427701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13861083984375 × 2 - 1) × π
    0.7227783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27067506120282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35427701} λ = 2.35427701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27067506120282))-π/2
    2×atan(9.68593720801372)-π/2
    2×1.46791835763781-π/2
    2.93583671527563-1.57079632675     		φ = 1.36504039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35427701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.890136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36504039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.211053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28662 KachelY 4542 2.35427701 1.36504039 134.890136 78.211053
    Oben rechts KachelX + 1 28663 KachelY 4542 2.35446876 1.36504039 134.901123 78.211053
    Unten links KachelX 28662 KachelY + 1 4543 2.35427701 1.36500121 134.890136 78.208808
    Unten rechts KachelX + 1 28663 KachelY + 1 4543 2.35446876 1.36500121 134.901123 78.208808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36504039-1.36500121) × R
    3.91800000001385e-05 × 6371000     		dl = 249.615780000883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36504039-1.36500121) × R
    3.91800000001385e-05 × 6371000     		dr = 249.615780000883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35427701-2.35446876) × cos(1.36504039) × R
    0.000191749999999935 × 0.204307209893685 × 6371000     		do = 249.58970666403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35427701-2.35446876) × cos(1.36500121) × R
    0.000191749999999935 × 0.204345563306105 × 6371000     		du = 249.636560698013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36504039)-sin(1.36500121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204307209893685-0.204345563306105)×R²
    abs(2.35446876-2.35427701)×3.83534124196172e-05×R²
    0.000191749999999935×3.83534124196172e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.83534124196172e-05×40589641000000     		ar = 62307.3770697812m²