Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28661 / 4551
↖ ↑ ↗
← N 78.190835°
E134.879151°		 ← 250 m → N 78.190835°
E134.890136°		 →
↑
250 m
↓
↑
250 m
↓
N 78.188586°
E134.879151°		 ← 250.05 m →
62 505 m²		 N 78.188586°
E134.890136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874679565429688 y=0.138900756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874679565429688 × 215)
    floor (0.874679565429688 × 32768)
    floor (28661.5)     		tx = 28661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138900756835938 × 215)
    floor (0.138900756835938 × 32768)
    floor (4551.5)     		ty = 4551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28661 / 4551 ti = "15/28661/4551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28661/4551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28661 ÷ 215
    28661 ÷ 32768     		x = 0.874664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4551 ÷ 215
    4551 ÷ 32768     		y = 0.138885498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874664306640625 × 2 - 1) × π
    0.74932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35408527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138885498046875 × 2 - 1) × π
    0.72222900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2689493328165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35408527} λ = 2.35408527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2689493328165))-π/2
    2×atan(9.66923632596363)-π/2
    2×1.46774191927526-π/2
    2.93548383855051-1.57079632675     		φ = 1.36468751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35408527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.879151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36468751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.190835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28661 KachelY 4551 2.35408527 1.36468751 134.879151 78.190835
    Oben rechts KachelX + 1 28662 KachelY 4551 2.35427701 1.36468751 134.890136 78.190835
    Unten links KachelX 28661 KachelY + 1 4552 2.35408527 1.36464827 134.879151 78.188586
    Unten rechts KachelX + 1 28662 KachelY + 1 4552 2.35427701 1.36464827 134.890136 78.188586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36468751-1.36464827) × R
    3.92399999999959e-05 × 6371000     		dl = 249.998039999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36468751-1.36464827) × R
    3.92399999999959e-05 × 6371000     		dr = 249.998039999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35408527-2.35427701) × cos(1.36468751) × R
    0.000191739999999996 × 0.204652633804866 × 6371000     		do = 249.998651652596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35408527-2.35427701) × cos(1.36464827) × R
    0.000191739999999996 × 0.204691043119513 × 6371000     		du = 250.045571531877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36468751)-sin(1.36464827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204652633804866-0.204691043119513)×R²
    abs(2.35427701-2.35408527)×3.84093146462983e-05×R²
    0.000191739999999996×3.84093146462983e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.84093146462983e-05×40589641000000     		ar = 62505.037862438m²