Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28660 / 28660
↖ ↑ ↗
← N 70.623552°
W101.282959°		 ← 101.33 m → N 70.623552°
W101.280212°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
N 70.622641°
W101.282959°		 ← 101.34 m →
10 265 m²		 N 70.622641°
W101.280212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218662261962891 y=0.218662261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218662261962891 × 217)
    floor (0.218662261962891 × 131072)
    floor (28660.5)     		tx = 28660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218662261962891 × 217)
    floor (0.218662261962891 × 131072)
    floor (28660.5)     		ty = 28660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28660 / 28660 ti = "17/28660/28660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28660/28660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28660 ÷ 217
    28660 ÷ 131072     		x = 0.218658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28660 ÷ 217
    28660 ÷ 131072     		y = 0.218658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.56268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76772111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218658447265625 × 2 - 1) × π
    0.56268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76772111038919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76772111} λ = -1.76772111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76772111038919))-π/2
    2×atan(5.85748956773957)-π/2
    2×1.40170492035545-π/2
    2.80340984071089-1.57079632675     		φ = 1.23261351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76772111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23261351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.623552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28660 KachelY 28660 -1.76772111 1.23261351 -101.282959 70.623552
    Oben rechts KachelX + 1 28661 KachelY 28660 -1.76767317 1.23261351 -101.280212 70.623552
    Unten links KachelX 28660 KachelY + 1 28661 -1.76772111 1.23259761 -101.282959 70.622641
    Unten rechts KachelX + 1 28661 KachelY + 1 28661 -1.76767317 1.23259761 -101.280212 70.622641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23261351-1.23259761) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23261351-1.23259761) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76772111--1.76767317) × cos(1.23261351) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.331773384526086 × 6371000     		do = 101.332131481587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76772111--1.76767317) × cos(1.23259761) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.331788383894088 × 6371000     		du = 101.336712674659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23261351)-sin(1.23259761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331773384526086-0.331788383894088)×R²
    abs(-1.76767317--1.76772111)×1.49993680023663e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.49993680023663e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.49993680023663e-05×40589641000000     		ar = 10265.0654889496m²