Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28659 / 4547
↖ ↑ ↗
← N 78.199825°
E134.857178°		 ← 249.82 m → N 78.199825°
E134.868164°		 →
↑
249.87 m
↓
↑
249.87 m
↓
N 78.197578°
E134.857178°		 ← 249.87 m →
62 430 m²		 N 78.197578°
E134.868164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874618530273438 y=0.138778686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874618530273438 × 215)
    floor (0.874618530273438 × 32768)
    floor (28659.5)     		tx = 28659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138778686523438 × 215)
    floor (0.138778686523438 × 32768)
    floor (4547.5)     		ty = 4547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28659 / 4547 ti = "15/28659/4547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28659/4547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28659 ÷ 215
    28659 ÷ 32768     		x = 0.874603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4547 ÷ 215
    4547 ÷ 32768     		y = 0.138763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874603271484375 × 2 - 1) × π
    0.74920654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35370177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138763427734375 × 2 - 1) × π
    0.72247314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26971632321042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35370177} λ = 2.35370177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26971632321042))-π/2
    2×atan(9.6766553821509)-π/2
    2×1.46782037312282-π/2
    2.93564074624564-1.57079632675     		φ = 1.36484442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35370177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.857178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36484442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.199825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28659 KachelY 4547 2.35370177 1.36484442 134.857178 78.199825
    Oben rechts KachelX + 1 28660 KachelY 4547 2.35389352 1.36484442 134.868164 78.199825
    Unten links KachelX 28659 KachelY + 1 4548 2.35370177 1.36480520 134.857178 78.197578
    Unten rechts KachelX + 1 28660 KachelY + 1 4548 2.35389352 1.36480520 134.868164 78.197578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36484442-1.36480520) × R
    3.92200000001175e-05 × 6371000     		dl = 249.870620000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36484442-1.36480520) × R
    3.92200000001175e-05 × 6371000     		dr = 249.870620000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35370177-2.35389352) × cos(1.36484442) × R
    0.000191750000000379 × 0.204499042339016 × 6371000     		do = 249.824056709247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35370177-2.35389352) × cos(1.36480520) × R
    0.000191750000000379 × 0.204537433336209 × 6371000     		du = 249.870956658266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36484442)-sin(1.36480520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204499042339016-0.204537433336209)×R²
    abs(2.35389352-2.35370177)×3.83909971936325e-05×R²
    0.000191750000000379×3.83909971936325e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.83909971936325e-05×40589641000000     		ar = 62429.5514090629m²