Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28658 / 40598
↖ ↑ ↗
← S 39.461644°
W 22.576904°		 ← 471.56 m → S 39.461644°
W 22.571411°		 →
↑
471.58 m
↓
↑
471.58 m
↓
S 39.465885°
W 22.576904°		 ← 471.53 m →
222 372 m²		 S 39.465885°
W 22.571411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437294006347656 y=0.619483947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437294006347656 × 216)
    floor (0.437294006347656 × 65536)
    floor (28658.5)     		tx = 28658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619483947753906 × 216)
    floor (0.619483947753906 × 65536)
    floor (40598.5)     		ty = 40598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28658 / 40598 ti = "16/28658/40598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28658/40598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28658 ÷ 216
    28658 ÷ 65536     		x = 0.437286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40598 ÷ 216
    40598 ÷ 65536     		y = 0.619476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437286376953125 × 2 - 1) × π
    -0.12542724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39404131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.23895263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.750691848050079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39404131} λ = -0.39404131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750691848050079))-π/2
    2×atan(0.472039859886516)-π/2
    2×0.441030358504453-π/2
    0.882060717008907-1.57079632675     		φ = -0.68873561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39404131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.576904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68873561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.461644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28658 KachelY 40598 -0.39404131 -0.68873561 -22.576904 -39.461644
    Oben rechts KachelX + 1 28659 KachelY 40598 -0.39394544 -0.68873561 -22.571411 -39.461644
    Unten links KachelX 28658 KachelY + 1 40599 -0.39404131 -0.68880963 -22.576904 -39.465885
    Unten rechts KachelX + 1 28659 KachelY + 1 40599 -0.39394544 -0.68880963 -22.571411 -39.465885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68873561--0.68880963) × R
    7.40199999998969e-05 × 6371000     		dl = 471.581419999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68873561--0.68880963) × R
    7.40199999998969e-05 × 6371000     		dr = 471.581419999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39404131--0.39394544) × cos(-0.68873561) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772050229541985 × 6371000     		do = 471.558838029927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39404131--0.39394544) × cos(-0.68880963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772003183163455 × 6371000     		du = 471.530102677298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68873561)-sin(-0.68880963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772050229541985-0.772003183163455)×R²
    abs(-0.39394544--0.39404131)×4.70463785299247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70463785299247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70463785299247e-05×40589641000000     		ar = 222371.61102407m²