Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28657 / 4580
↖ ↑ ↗
← N 78.125454°
E134.835205°		 ← 251.36 m → N 78.125454°
E134.846191°		 →
↑
251.40 m
↓
↑
251.40 m
↓
N 78.123193°
E134.835205°		 ← 251.41 m →
63 198 m²		 N 78.123193°
E134.846191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874557495117188 y=0.139785766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874557495117188 × 215)
    floor (0.874557495117188 × 32768)
    floor (28657.5)     		tx = 28657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139785766601562 × 215)
    floor (0.139785766601562 × 32768)
    floor (4580.5)     		ty = 4580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28657 / 4580 ti = "15/28657/4580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28657/4580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28657 ÷ 215
    28657 ÷ 32768     		x = 0.874542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4580 ÷ 215
    4580 ÷ 32768     		y = 0.1397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874542236328125 × 2 - 1) × π
    0.74908447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35331828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1397705078125 × 2 - 1) × π
    0.720458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26338865246057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35331828} λ = 2.35331828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26338865246057))-π/2
    2×atan(9.61561800879221)-π/2
    2×1.46717136410958-π/2
    2.93434272821917-1.57079632675     		φ = 1.36354640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35331828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.835205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36354640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.125454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28657 KachelY 4580 2.35331828 1.36354640 134.835205 78.125454
    Oben rechts KachelX + 1 28658 KachelY 4580 2.35351002 1.36354640 134.846191 78.125454
    Unten links KachelX 28657 KachelY + 1 4581 2.35331828 1.36350694 134.835205 78.123193
    Unten rechts KachelX + 1 28658 KachelY + 1 4581 2.35351002 1.36350694 134.846191 78.123193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36354640-1.36350694) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dl = 251.399659999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36354640-1.36350694) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dr = 251.399659999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35331828-2.35351002) × cos(1.36354640) × R
    0.000191739999999996 × 0.205769458343555 × 6371000     		do = 251.362937191531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35331828-2.35351002) × cos(1.36350694) × R
    0.000191739999999996 × 0.205808073758901 × 6371000     		du = 251.410108838384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36354640)-sin(1.36350694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205769458343555-0.205808073758901)×R²
    abs(2.35351002-2.35331828)×3.86154153458884e-05×R²
    0.000191739999999996×3.86154153458884e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.86154153458884e-05×40589641000000     		ar = 63198.4864227389m²