Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28657 / 28784
↖ ↑ ↗
← N 70.510241°
W101.291199°		 ← 101.90 m → N 70.510241°
W101.288452°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
N 70.509324°
W101.291199°		 ← 101.91 m →
10 388 m²		 N 70.509324°
W101.288452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218639373779297 y=0.219608306884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218639373779297 × 217)
    floor (0.218639373779297 × 131072)
    floor (28657.5)     		tx = 28657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219608306884766 × 217)
    floor (0.219608306884766 × 131072)
    floor (28784.5)     		ty = 28784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28657 / 28784 ti = "17/28657/28784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28657/28784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28657 ÷ 217
    28657 ÷ 131072     		x = 0.218635559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28784 ÷ 217
    28784 ÷ 131072     		y = 0.2196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218635559082031 × 2 - 1) × π
    -0.562728881835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.76786492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2196044921875 × 2 - 1) × π
    0.560791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7617769348363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76786492} λ = -1.76786492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7617769348363))-π/2
    2×atan(5.82277489870824)-π/2
    2×1.40071609155375-π/2
    2.80143218310751-1.57079632675     		φ = 1.23063586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76786492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.291199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23063586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.510241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28657 KachelY 28784 -1.76786492 1.23063586 -101.291199 70.510241
    Oben rechts KachelX + 1 28658 KachelY 28784 -1.76781698 1.23063586 -101.288452 70.510241
    Unten links KachelX 28657 KachelY + 1 28785 -1.76786492 1.23061986 -101.291199 70.509324
    Unten rechts KachelX + 1 28658 KachelY + 1 28785 -1.76781698 1.23061986 -101.288452 70.509324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23063586-1.23061986) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23063586-1.23061986) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76786492--1.76781698) × cos(1.23063586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333638368666138 × 6371000     		do = 101.901745642181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76786492--1.76781698) × cos(1.23061986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333653451841668 × 6371000     		du = 101.906352432229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23063586)-sin(1.23061986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333638368666138-0.333653451841668)×R²
    abs(-1.76781698--1.76786492)×1.50831755302283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50831755302283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50831755302283e-05×40589641000000     		ar = 10387.6911428766m²