Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28656 / 42602
↖ ↑ ↗
← S 47.435519°
W 22.587890°		 ← 413.15 m → S 47.435519°
W 22.582398°		 →
↑
413.16 m
↓
↑
413.16 m
↓
S 47.439235°
W 22.587890°		 ← 413.12 m →
170 690 m²		 S 47.439235°
W 22.582398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437263488769531 y=0.650062561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437263488769531 × 216)
    floor (0.437263488769531 × 65536)
    floor (28656.5)     		tx = 28656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650062561035156 × 216)
    floor (0.650062561035156 × 65536)
    floor (42602.5)     		ty = 42602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28656 / 42602 ti = "16/28656/42602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28656/42602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28656 ÷ 216
    28656 ÷ 65536     		x = 0.437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42602 ÷ 216
    42602 ÷ 65536     		y = 0.650054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.30010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.942822941727264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39423306} λ = -0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942822941727264))-π/2
    2×atan(0.389526670735303)-π/2
    2×0.371445167598517-π/2
    0.742890335197034-1.57079632675     		φ = -0.82790599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82790599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.435519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28656 KachelY 42602 -0.39423306 -0.82790599 -22.587890 -47.435519
    Oben rechts KachelX + 1 28657 KachelY 42602 -0.39413719 -0.82790599 -22.582398 -47.435519
    Unten links KachelX 28656 KachelY + 1 42603 -0.39423306 -0.82797084 -22.587890 -47.439235
    Unten rechts KachelX + 1 28657 KachelY + 1 42603 -0.39413719 -0.82797084 -22.582398 -47.439235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82790599--0.82797084) × R
    6.48500000000052e-05 × 6371000     		dl = 413.159350000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82790599--0.82797084) × R
    6.48500000000052e-05 × 6371000     		dr = 413.159350000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39423306--0.39413719) × cos(-0.82790599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676419514989052 × 6371000     		do = 413.148767144635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39423306--0.39413719) × cos(-0.82797084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676371750467971 × 6371000     		du = 413.119593159319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82790599)-sin(-0.82797084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676419514989052-0.676371750467971)×R²
    abs(-0.39413719--0.39423306)×4.77645210810174e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77645210810174e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77645210810174e-05×40589641000000     		ar = 170690.249394167m²