Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28654 / 42689
↖ ↑ ↗
← S 47.757791°
W 22.598877°		 ← 410.61 m → S 47.757791°
W 22.593384°		 →
↑
410.61 m
↓
↑
410.61 m
↓
S 47.761484°
W 22.598877°		 ← 410.58 m →
168 596 m²		 S 47.761484°
W 22.593384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437232971191406 y=0.651390075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437232971191406 × 216)
    floor (0.437232971191406 × 65536)
    floor (28654.5)     		tx = 28654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651390075683594 × 216)
    floor (0.651390075683594 × 65536)
    floor (42689.5)     		ty = 42689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28654 / 42689 ti = "16/28654/42689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28654/42689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28654 ÷ 216
    28654 ÷ 65536     		x = 0.437225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42689 ÷ 216
    42689 ÷ 65536     		y = 0.651382446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.12554931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39442481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651382446289062 × 2 - 1) × π
    -0.302764892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.951163962261154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39442481} λ = -0.39442481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951163962261154))-π/2
    2×atan(0.386291133376689)-π/2
    2×0.368632815375394-π/2
    0.737265630750789-1.57079632675     		φ = -0.83353070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39442481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.598877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83353070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.757791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28654 KachelY 42689 -0.39442481 -0.83353070 -22.598877 -47.757791
    Oben rechts KachelX + 1 28655 KachelY 42689 -0.39432894 -0.83353070 -22.593384 -47.757791
    Unten links KachelX 28654 KachelY + 1 42690 -0.39442481 -0.83359515 -22.598877 -47.761484
    Unten rechts KachelX + 1 28655 KachelY + 1 42690 -0.39432894 -0.83359515 -22.593384 -47.761484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83353070--0.83359515) × R
    6.44499999999937e-05 × 6371000     		dl = 410.61094999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83353070--0.83359515) × R
    6.44499999999937e-05 × 6371000     		dr = 410.61094999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39442481--0.39432894) × cos(-0.83353070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.672266144749307 × 6371000     		do = 410.611939397917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39442481--0.39432894) × cos(-0.83359515) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.672218430402577 × 6371000     		du = 410.582796058481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83353070)-sin(-0.83359515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672266144749307-0.672218430402577)×R²
    abs(-0.39432894--0.39442481)×4.7714346729788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7714346729788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7714346729788e-05×40589641000000     		ar = 168595.775288505m²