Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28653 / 22621
↖ ↑ ↗
← N 48.585692°
W 22.604370°		 ← 404.04 m → N 48.585692°
W 22.598877°		 →
↑
404.05 m
↓
↑
404.05 m
↓
N 48.582059°
W 22.604370°		 ← 404.06 m →
163 256 m²		 N 48.582059°
W 22.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437217712402344 y=0.345176696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437217712402344 × 216)
    floor (0.437217712402344 × 65536)
    floor (28653.5)     		tx = 28653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345176696777344 × 216)
    floor (0.345176696777344 × 65536)
    floor (22621.5)     		ty = 22621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28653 / 22621 ti = "16/28653/22621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28653/22621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28653 ÷ 216
    28653 ÷ 65536     		x = 0.437210083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22621 ÷ 216
    22621 ÷ 65536     		y = 0.345169067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437210083007812 × 2 - 1) × π
    -0.125579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39452068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345169067382812 × 2 - 1) × π
    0.309661865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.97283144088942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39452068} λ = -0.39452068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97283144088942))-π/2
    2×atan(2.64542422742382)-π/2
    2×1.20938831300994-π/2
    2.41877662601989-1.57079632675     		φ = 0.84798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39452068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.604370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.585692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28653 KachelY 22621 -0.39452068 0.84798030 -22.604370 48.585692
    Oben rechts KachelX + 1 28654 KachelY 22621 -0.39442481 0.84798030 -22.598877 48.585692
    Unten links KachelX 28653 KachelY + 1 22622 -0.39452068 0.84791688 -22.604370 48.582059
    Unten rechts KachelX + 1 28654 KachelY + 1 22622 -0.39442481 0.84791688 -22.598877 48.582059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84798030-0.84791688) × R
    6.34200000000362e-05 × 6371000     		dl = 404.048820000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84798030-0.84791688) × R
    6.34200000000362e-05 × 6371000     		dr = 404.048820000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39452068--0.39442481) × cos(0.84798030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661499159790408 × 6371000     		do = 404.035596665248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39452068--0.39442481) × cos(0.84791688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661546720029414 × 6371000     		du = 404.064645877571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84798030)-sin(0.84791688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661499159790408-0.661546720029414)×R²
    abs(-0.39442481--0.39452068)×4.75602390059837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75602390059837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75602390059837e-05×40589641000000     		ar = 163255.974775326m²