Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28652 / 42667
↖ ↑ ↗
← S 47.676484°
W 22.609863°		 ← 411.30 m → S 47.676484°
W 22.604370°		 →
↑
411.25 m
↓
↑
411.25 m
↓
S 47.680183°
W 22.609863°		 ← 411.27 m →
169 139 m²		 S 47.680183°
W 22.604370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437202453613281 y=0.651054382324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437202453613281 × 216)
    floor (0.437202453613281 × 65536)
    floor (28652.5)     		tx = 28652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651054382324219 × 216)
    floor (0.651054382324219 × 65536)
    floor (42667.5)     		ty = 42667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28652 / 42667 ti = "16/28652/42667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28652/42667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28652 ÷ 216
    28652 ÷ 65536     		x = 0.43719482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42667 ÷ 216
    42667 ÷ 65536     		y = 0.651046752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39461656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651046752929688 × 2 - 1) × π
    -0.302093505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.949054738677872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39461656} λ = -0.39461656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949054738677872))-π/2
    2×atan(0.387106767620327)-π/2
    2×0.369342348760344-π/2
    0.738684697520688-1.57079632675     		φ = -0.83211163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39461656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.609863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83211163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.676484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28652 KachelY 42667 -0.39461656 -0.83211163 -22.609863 -47.676484
    Oben rechts KachelX + 1 28653 KachelY 42667 -0.39452068 -0.83211163 -22.604370 -47.676484
    Unten links KachelX 28652 KachelY + 1 42668 -0.39461656 -0.83217618 -22.609863 -47.680183
    Unten rechts KachelX + 1 28653 KachelY + 1 42668 -0.39452068 -0.83217618 -22.604370 -47.680183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83211163--0.83217618) × R
    6.45500000000521e-05 × 6371000     		dl = 411.248050000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83211163--0.83217618) × R
    6.45500000000521e-05 × 6371000     		dr = 411.248050000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39461656--0.39452068) × cos(-0.83211163) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.673316018579492 × 6371000     		do = 411.296086456959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39461656--0.39452068) × cos(-0.83217618) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.673268291823609 × 6371000     		du = 411.266932497492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83211163)-sin(-0.83217618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673316018579492-0.673268291823609)×R²
    abs(-0.39452068--0.39461656)×4.77267558831596e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77267558831596e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77267558831596e-05×40589641000000     		ar = 169138.718832463m²