Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28651 / 4533
↖ ↑ ↗
← N 78.231237°
E134.769287°		 ← 249.17 m → N 78.231237°
E134.780274°		 →
↑
249.17 m
↓
↑
249.17 m
↓
N 78.228997°
E134.769287°		 ← 249.22 m →
62 091 m²		 N 78.228997°
E134.780274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874374389648438 y=0.138351440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874374389648438 × 215)
    floor (0.874374389648438 × 32768)
    floor (28651.5)     		tx = 28651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138351440429688 × 215)
    floor (0.138351440429688 × 32768)
    floor (4533.5)     		ty = 4533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28651 / 4533 ti = "15/28651/4533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28651/4533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28651 ÷ 215
    28651 ÷ 32768     		x = 0.874359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4533 ÷ 215
    4533 ÷ 32768     		y = 0.138336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874359130859375 × 2 - 1) × π
    0.74871826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35216779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138336181640625 × 2 - 1) × π
    0.72332763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27240078958914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35216779} λ = 2.35216779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27240078958914))-π/2
    2×atan(9.70266693613312)-π/2
    2×1.46809449818986-π/2
    2.93618899637972-1.57079632675     		φ = 1.36539267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35216779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.769287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36539267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.231237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28651 KachelY 4533 2.35216779 1.36539267 134.769287 78.231237
    Oben rechts KachelX + 1 28652 KachelY 4533 2.35235954 1.36539267 134.780274 78.231237
    Unten links KachelX 28651 KachelY + 1 4534 2.35216779 1.36535356 134.769287 78.228997
    Unten rechts KachelX + 1 28652 KachelY + 1 4534 2.35235954 1.36535356 134.780274 78.228997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36539267-1.36535356) × R
    3.91100000001199e-05 × 6371000     		dl = 249.169810000764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36539267-1.36535356) × R
    3.91100000001199e-05 × 6371000     		dr = 249.169810000764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35216779-2.35235954) × cos(1.36539267) × R
    0.000191749999999935 × 0.20396234792857 × 6371000     		do = 249.168409751613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35216779-2.35235954) × cos(1.36535356) × R
    0.000191749999999935 × 0.204000635630838 × 6371000     		du = 249.215183511495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36539267)-sin(1.36535356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20396234792857-0.204000635630838)×R²
    abs(2.35235954-2.35216779)×3.82877022675754e-05×R²
    0.000191749999999935×3.82877022675754e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.82877022675754e-05×40589641000000     		ar = 62091.0726286192m²