Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28651 / 22053
↖ ↑ ↗
← N 50.607645°
W 22.615356°		 ← 387.62 m → N 50.607645°
W 22.609863°		 →
↑
387.61 m
↓
↑
387.61 m
↓
N 50.604160°
W 22.615356°		 ← 387.65 m →
150 253 m²		 N 50.604160°
W 22.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437187194824219 y=0.336509704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437187194824219 × 216)
    floor (0.437187194824219 × 65536)
    floor (28651.5)     		tx = 28651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336509704589844 × 216)
    floor (0.336509704589844 × 65536)
    floor (22053.5)     		ty = 22053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28651 / 22053 ti = "16/28651/22053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28651/22053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28651 ÷ 216
    28651 ÷ 65536     		x = 0.437179565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22053 ÷ 216
    22053 ÷ 65536     		y = 0.336502075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437179565429688 × 2 - 1) × π
    -0.125640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39471243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336502075195312 × 2 - 1) × π
    0.326995849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0272877588578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39471243} λ = -0.39471243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0272877588578))-π/2
    2×atan(2.79347896206517)-π/2
    2×1.2270331857246-π/2
    2.45406637144919-1.57079632675     		φ = 0.88327004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39471243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.615356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88327004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.607645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28651 KachelY 22053 -0.39471243 0.88327004 -22.615356 50.607645
    Oben rechts KachelX + 1 28652 KachelY 22053 -0.39461656 0.88327004 -22.609863 50.607645
    Unten links KachelX 28651 KachelY + 1 22054 -0.39471243 0.88320920 -22.615356 50.604160
    Unten rechts KachelX + 1 28652 KachelY + 1 22054 -0.39461656 0.88320920 -22.609863 50.604160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88327004-0.88320920) × R
    6.08399999999509e-05 × 6371000     		dl = 387.611639999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88327004-0.88320920) × R
    6.08399999999509e-05 × 6371000     		dr = 387.611639999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39471243--0.39461656) × cos(0.88327004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63462739514973 × 6371000     		do = 387.622651464404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39471243--0.39461656) × cos(0.88320920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63467441223835 × 6371000     		du = 387.651368927114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88327004)-sin(0.88320920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63462739514973-0.63467441223835)×R²
    abs(-0.39461656--0.39471243)×4.70170886203158e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70170886203158e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70170886203158e-05×40589641000000     		ar = 150252.617293027m²