Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28650 / 4534
↖ ↑ ↗
← N 78.228997°
E134.758301°		 ← 249.22 m → N 78.228997°
E134.769287°		 →
↑
249.23 m
↓
↑
249.23 m
↓
N 78.226755°
E134.758301°		 ← 249.26 m →
62 119 m²		 N 78.226755°
E134.769287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874343872070312 y=0.138381958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874343872070312 × 215)
    floor (0.874343872070312 × 32768)
    floor (28650.5)     		tx = 28650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138381958007812 × 215)
    floor (0.138381958007812 × 32768)
    floor (4534.5)     		ty = 4534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28650 / 4534 ti = "15/28650/4534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28650/4534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28650 ÷ 215
    28650 ÷ 32768     		x = 0.87432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4534 ÷ 215
    4534 ÷ 32768     		y = 0.13836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87432861328125 × 2 - 1) × π
    0.7486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35197604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13836669921875 × 2 - 1) × π
    0.7232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27220904199066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35197604} λ = 2.35197604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27220904199066))-π/2
    2×atan(9.70080665140753)-π/2
    2×1.46807494170915-π/2
    2.93614988341829-1.57079632675     		φ = 1.36535356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35197604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36535356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.228997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28650 KachelY 4534 2.35197604 1.36535356 134.758301 78.228997
    Oben rechts KachelX + 1 28651 KachelY 4534 2.35216779 1.36535356 134.769287 78.228997
    Unten links KachelX 28650 KachelY + 1 4535 2.35197604 1.36531444 134.758301 78.226755
    Unten rechts KachelX + 1 28651 KachelY + 1 4535 2.35216779 1.36531444 134.769287 78.226755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36535356-1.36531444) × R
    3.91200000000591e-05 × 6371000     		dl = 249.233520000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36535356-1.36531444) × R
    3.91200000000591e-05 × 6371000     		dr = 249.233520000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35197604-2.35216779) × cos(1.36535356) × R
    0.000191750000000379 × 0.204000635630838 × 6371000     		do = 249.215183512072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35197604-2.35216779) × cos(1.36531444) × R
    0.000191750000000379 × 0.204038932810695 × 6371000     		du = 249.261968850151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36535356)-sin(1.36531444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204000635630838-0.204038932810695)×R²
    abs(2.35216779-2.35197604)×3.82971798575382e-05×R²
    0.000191750000000379×3.82971798575382e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.82971798575382e-05×40589641000000     		ar = 62118.6076693141m²