Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28649 / 22616
↖ ↑ ↗
← N 48.603857°
W 22.626343°		 ← 403.89 m → N 48.603857°
W 22.620850°		 →
↑
403.92 m
↓
↑
403.92 m
↓
N 48.600225°
W 22.626343°		 ← 403.92 m →
163 146 m²		 N 48.600225°
W 22.620850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437156677246094 y=0.345100402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437156677246094 × 216)
    floor (0.437156677246094 × 65536)
    floor (28649.5)     		tx = 28649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345100402832031 × 216)
    floor (0.345100402832031 × 65536)
    floor (22616.5)     		ty = 22616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28649 / 22616 ti = "16/28649/22616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28649/22616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28649 ÷ 216
    28649 ÷ 65536     		x = 0.437149047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22616 ÷ 216
    22616 ÷ 65536     		y = 0.3450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437149047851562 × 2 - 1) × π
    -0.125701904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39490418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3450927734375 × 2 - 1) × π
    0.309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.97331080988562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39490418} λ = -0.39490418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97331080988562))-π/2
    2×atan(2.64669266578097)-π/2
    2×1.20954683560533-π/2
    2.41909367121065-1.57079632675     		φ = 0.84829734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39490418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.626343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84829734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.603857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28649 KachelY 22616 -0.39490418 0.84829734 -22.626343 48.603857
    Oben rechts KachelX + 1 28650 KachelY 22616 -0.39480831 0.84829734 -22.620850 48.603857
    Unten links KachelX 28649 KachelY + 1 22617 -0.39490418 0.84823394 -22.626343 48.600225
    Unten rechts KachelX + 1 28650 KachelY + 1 22617 -0.39480831 0.84823394 -22.620850 48.600225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84829734-0.84823394) × R
    6.34000000000468e-05 × 6371000     		dl = 403.921400000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84829734-0.84823394) × R
    6.34000000000468e-05 × 6371000     		dr = 403.921400000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39490418--0.39480831) × cos(0.84829734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661261363699339 × 6371000     		do = 403.89035372107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39490418--0.39480831) × cos(0.84823394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.66130892223471 × 6371000     		du = 403.919401892833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84829734)-sin(0.84823394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661261363699339-0.66130892223471)×R²
    abs(-0.39480831--0.39490418)×4.75585353704178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75585353704178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75585353704178e-05×40589641000000     		ar = 163145.823765175m²