Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28649 / 21224
↖ ↑ ↗
← N 53.409532°
W 22.626343°		 ← 364.09 m → N 53.409532°
W 22.620850°		 →
↑
364.10 m
↓
↑
364.10 m
↓
N 53.406257°
W 22.626343°		 ← 364.11 m →
132 570 m²		 N 53.406257°
W 22.620850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437156677246094 y=0.323860168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437156677246094 × 216)
    floor (0.437156677246094 × 65536)
    floor (28649.5)     		tx = 28649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323860168457031 × 216)
    floor (0.323860168457031 × 65536)
    floor (21224.5)     		ty = 21224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28649 / 21224 ti = "16/28649/21224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28649/21224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28649 ÷ 216
    28649 ÷ 65536     		x = 0.437149047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21224 ÷ 216
    21224 ÷ 65536     		y = 0.3238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437149047851562 × 2 - 1) × π
    -0.125701904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39490418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3238525390625 × 2 - 1) × π
    0.352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10676713842786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39490418} λ = -0.39490418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10676713842786))-π/2
    2×atan(3.02456457335003)-π/2
    2×1.25148425478059-π/2
    2.50296850956119-1.57079632675     		φ = 0.93217218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39490418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.626343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93217218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.409532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28649 KachelY 21224 -0.39490418 0.93217218 -22.626343 53.409532
    Oben rechts KachelX + 1 28650 KachelY 21224 -0.39480831 0.93217218 -22.620850 53.409532
    Unten links KachelX 28649 KachelY + 1 21225 -0.39490418 0.93211503 -22.626343 53.406257
    Unten rechts KachelX + 1 28650 KachelY + 1 21225 -0.39480831 0.93211503 -22.620850 53.406257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93217218-0.93211503) × R
    5.71500000000613e-05 × 6371000     		dl = 364.102650000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93217218-0.93211503) × R
    5.71500000000613e-05 × 6371000     		dr = 364.102650000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39490418--0.39480831) × cos(0.93217218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596091310454229 × 6371000     		do = 364.085282228708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39490418--0.39480831) × cos(0.93211503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.596137196167396 × 6371000     		du = 364.113308661128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93217218)-sin(0.93211503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596091310454229-0.596137196167396)×R²
    abs(-0.39480831--0.39490418)×4.58857131669932e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58857131669932e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58857131669932e-05×40589641000000     		ar = 132569.518370945m²