Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28647 / 4535
↖ ↑ ↗
← N 78.226755°
E134.725342°		 ← 249.26 m → N 78.226755°
E134.736328°		 →
↑
249.30 m
↓
↑
249.30 m
↓
N 78.224513°
E134.725342°		 ← 249.31 m →
62 146 m²		 N 78.224513°
E134.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874252319335938 y=0.138412475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874252319335938 × 215)
    floor (0.874252319335938 × 32768)
    floor (28647.5)     		tx = 28647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138412475585938 × 215)
    floor (0.138412475585938 × 32768)
    floor (4535.5)     		ty = 4535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28647 / 4535 ti = "15/28647/4535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28647/4535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28647 ÷ 215
    28647 ÷ 32768     		x = 0.874237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4535 ÷ 215
    4535 ÷ 32768     		y = 0.138397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874237060546875 × 2 - 1) × π
    0.74847412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35140080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138397216796875 × 2 - 1) × π
    0.72320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27201729439218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35140080} λ = 2.35140080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27201729439218))-π/2
    2×atan(9.69894672335287)-π/2
    2×1.46805538155704-π/2
    2.93611076311407-1.57079632675     		φ = 1.36531444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35140080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.725342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36531444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.226755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28647 KachelY 4535 2.35140080 1.36531444 134.725342 78.226755
    Oben rechts KachelX + 1 28648 KachelY 4535 2.35159255 1.36531444 134.736328 78.226755
    Unten links KachelX 28647 KachelY + 1 4536 2.35140080 1.36527531 134.725342 78.224513
    Unten rechts KachelX + 1 28648 KachelY + 1 4536 2.35159255 1.36527531 134.736328 78.224513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36531444-1.36527531) × R
    3.91299999999983e-05 × 6371000     		dl = 249.297229999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36531444-1.36527531) × R
    3.91299999999983e-05 × 6371000     		dr = 249.297229999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35140080-2.35159255) × cos(1.36531444) × R
    0.000191749999999935 × 0.204038932810695 × 6371000     		do = 249.261968849574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35140080-2.35159255) × cos(1.36527531) × R
    0.000191749999999935 × 0.204077239467845 × 6371000     		du = 249.308765765484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36531444)-sin(1.36527531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204038932810695-0.204077239467845)×R²
    abs(2.35159255-2.35140080)×3.83066571494062e-05×R²
    0.000191749999999935×3.83066571494062e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.83066571494062e-05×40589641000000     		ar = 62146.1515571762m²