Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28646 / 4530
↖ ↑ ↗
← N 78.237958°
E134.714355°		 ← 249.03 m → N 78.237958°
E134.725342°		 →
↑
249.04 m
↓
↑
249.04 m
↓
N 78.235718°
E134.714355°		 ← 249.07 m →
62 024 m²		 N 78.235718°
E134.725342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874221801757812 y=0.138259887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874221801757812 × 215)
    floor (0.874221801757812 × 32768)
    floor (28646.5)     		tx = 28646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138259887695312 × 215)
    floor (0.138259887695312 × 32768)
    floor (4530.5)     		ty = 4530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28646 / 4530 ti = "15/28646/4530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28646/4530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28646 ÷ 215
    28646 ÷ 32768     		x = 0.87420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4530 ÷ 215
    4530 ÷ 32768     		y = 0.13824462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87420654296875 × 2 - 1) × π
    0.7484130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35120905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13824462890625 × 2 - 1) × π
    0.7235107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27297603238458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35120905} λ = 2.35120905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27297603238458))-π/2
    2×atan(9.70824993101953)-π/2
    2×1.46815314561023-π/2
    2.93630629122045-1.57079632675     		φ = 1.36550996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35120905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.714355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36550996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.237958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28646 KachelY 4530 2.35120905 1.36550996 134.714355 78.237958
    Oben rechts KachelX + 1 28647 KachelY 4530 2.35140080 1.36550996 134.725342 78.237958
    Unten links KachelX 28646 KachelY + 1 4531 2.35120905 1.36547087 134.714355 78.235718
    Unten rechts KachelX + 1 28647 KachelY + 1 4531 2.35140080 1.36547087 134.725342 78.235718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36550996-1.36547087) × R
    3.90900000000194e-05 × 6371000     		dl = 249.042390000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36550996-1.36547087) × R
    3.90900000000194e-05 × 6371000     		dr = 249.042390000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35120905-2.35140080) × cos(1.36550996) × R
    0.000191749999999935 × 0.203847522110233 × 6371000     		do = 249.028134025019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35120905-2.35140080) × cos(1.36547087) × R
    0.000191749999999935 × 0.20388579116805 × 6371000     		du = 249.074885008109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36550996)-sin(1.36547087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203847522110233-0.20388579116805)×R²
    abs(2.35140080-2.35120905)×3.82690578168976e-05×R²
    0.000191749999999935×3.82690578168976e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.82690578168976e-05×40589641000000     		ar = 62024.383170963m²