Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28645 / 40559
↖ ↑ ↗
← S 39.296048°
W 22.648315°		 ← 472.68 m → S 39.296048°
W 22.642822°		 →
↑
472.73 m
↓
↑
472.73 m
↓
S 39.300299°
W 22.648315°		 ← 472.65 m →
223 442 m²		 S 39.300299°
W 22.642822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437095642089844 y=0.618888854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437095642089844 × 216)
    floor (0.437095642089844 × 65536)
    floor (28645.5)     		tx = 28645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618888854980469 × 216)
    floor (0.618888854980469 × 65536)
    floor (40559.5)     		ty = 40559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28645 / 40559 ti = "16/28645/40559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28645/40559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28645 ÷ 216
    28645 ÷ 65536     		x = 0.437088012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40559 ÷ 216
    40559 ÷ 65536     		y = 0.618881225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437088012695312 × 2 - 1) × π
    -0.125823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39528767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618881225585938 × 2 - 1) × π
    -0.237762451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.746952769879715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39528767} λ = -0.39528767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746952769879715))-π/2
    2×atan(0.473808157663798)-π/2
    2×0.442475450965331-π/2
    0.884950901930663-1.57079632675     		φ = -0.68584542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39528767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.648315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68584542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.296048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28645 KachelY 40559 -0.39528767 -0.68584542 -22.648315 -39.296048
    Oben rechts KachelX + 1 28646 KachelY 40559 -0.39519180 -0.68584542 -22.642822 -39.296048
    Unten links KachelX 28645 KachelY + 1 40560 -0.39528767 -0.68591962 -22.648315 -39.300299
    Unten rechts KachelX + 1 28646 KachelY + 1 40560 -0.39519180 -0.68591962 -22.642822 -39.300299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68584542--0.68591962) × R
    7.41999999999132e-05 × 6371000     		dl = 472.728199999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68584542--0.68591962) × R
    7.41999999999132e-05 × 6371000     		dr = 472.728199999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39528767--0.39519180) × cos(-0.68584542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773883895986085 × 6371000     		do = 472.678819068242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39528767--0.39519180) × cos(-0.68591962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773836900955659 × 6371000     		du = 472.650115078407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68584542)-sin(-0.68591962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773883895986085-0.773836900955659)×R²
    abs(-0.39519180--0.39528767)×4.69950304260447e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69950304260447e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69950304260447e-05×40589641000000     		ar = 223441.822825479m²