Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28644 / 22060
↖ ↑ ↗
← N 50.583237°
W 22.653809°		 ← 387.86 m → N 50.583237°
W 22.648315°		 →
↑
387.87 m
↓
↑
387.87 m
↓
N 50.579749°
W 22.653809°		 ← 387.89 m →
150 445 m²		 N 50.579749°
W 22.648315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437080383300781 y=0.336616516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437080383300781 × 216)
    floor (0.437080383300781 × 65536)
    floor (28644.5)     		tx = 28644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336616516113281 × 216)
    floor (0.336616516113281 × 65536)
    floor (22060.5)     		ty = 22060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28644 / 22060 ti = "16/28644/22060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28644/22060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28644 ÷ 216
    28644 ÷ 65536     		x = 0.43707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22060 ÷ 216
    22060 ÷ 65536     		y = 0.33660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43707275390625 × 2 - 1) × π
    -0.1258544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39538355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33660888671875 × 2 - 1) × π
    0.3267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02661664226312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39538355} λ = -0.39538355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02661664226312))-π/2
    2×atan(2.79160484092408)-π/2
    2×1.22682017600999-π/2
    2.45364035201998-1.57079632675     		φ = 0.88284403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39538355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.653809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88284403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.583237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28644 KachelY 22060 -0.39538355 0.88284403 -22.653809 50.583237
    Oben rechts KachelX + 1 28645 KachelY 22060 -0.39528767 0.88284403 -22.648315 50.583237
    Unten links KachelX 28644 KachelY + 1 22061 -0.39538355 0.88278315 -22.653809 50.579749
    Unten rechts KachelX + 1 28645 KachelY + 1 22061 -0.39528767 0.88278315 -22.648315 50.579749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88284403-0.88278315) × R
    6.08800000000409e-05 × 6371000     		dl = 387.866480000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88284403-0.88278315) × R
    6.08800000000409e-05 × 6371000     		dr = 387.866480000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39538355--0.39528767) × cos(0.88284403) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.634956565860937 × 6371000     		do = 387.864157991841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39538355--0.39528767) × cos(0.88278315) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635003597396493 × 6371000     		du = 387.892887274942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88284403)-sin(0.88278315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634956565860937-0.635003597396493)×R²
    abs(-0.39528767--0.39538355)×4.70315355554085e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70315355554085e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70315355554085e-05×40589641000000     		ar = 150445.077288012m²