Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28643 / 42682
↖ ↑ ↗
← S 47.731934°
W 22.659302°		 ← 410.82 m → S 47.731934°
W 22.653809°		 →
↑
410.87 m
↓
↑
410.87 m
↓
S 47.735629°
W 22.659302°		 ← 410.79 m →
168 784 m²		 S 47.735629°
W 22.653809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437065124511719 y=0.651283264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437065124511719 × 216)
    floor (0.437065124511719 × 65536)
    floor (28643.5)     		tx = 28643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651283264160156 × 216)
    floor (0.651283264160156 × 65536)
    floor (42682.5)     		ty = 42682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28643 / 42682 ti = "16/28643/42682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28643/42682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28643 ÷ 216
    28643 ÷ 65536     		x = 0.437057495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42682 ÷ 216
    42682 ÷ 65536     		y = 0.651275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437057495117188 × 2 - 1) × π
    -0.125885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39547942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.30255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.950492845666473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39547942} λ = -0.39547942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950492845666473))-π/2
    2×atan(0.386550466778417)-π/2
    2×0.368858455899916-π/2
    0.737716911799832-1.57079632675     		φ = -0.83307941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39547942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.659302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83307941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.731934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28643 KachelY 42682 -0.39547942 -0.83307941 -22.659302 -47.731934
    Oben rechts KachelX + 1 28644 KachelY 42682 -0.39538355 -0.83307941 -22.653809 -47.731934
    Unten links KachelX 28643 KachelY + 1 42683 -0.39547942 -0.83314390 -22.659302 -47.735629
    Unten rechts KachelX + 1 28644 KachelY + 1 42683 -0.39538355 -0.83314390 -22.653809 -47.735629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83307941--0.83314390) × R
    6.44900000000836e-05 × 6371000     		dl = 410.865790000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83307941--0.83314390) × R
    6.44900000000836e-05 × 6371000     		dr = 410.865790000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39547942--0.39538355) × cos(-0.83307941) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.672600170577275 × 6371000     		do = 410.815958288742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39547942--0.39538355) × cos(-0.83314390) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.672552446186023 × 6371000     		du = 410.786808814235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83307941)-sin(-0.83314390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672600170577275-0.672552446186023)×R²
    abs(-0.39538355--0.39547942)×4.77243912522241e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.77243912522241e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.77243912522241e-05×40589641000000     		ar = 168784.235044854m²