Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28643 / 42586
↖ ↑ ↗
← S 47.376035°
W 22.659302°		 ← 413.62 m → S 47.376035°
W 22.653809°		 →
↑
413.61 m
↓
↑
413.61 m
↓
S 47.379754°
W 22.659302°		 ← 413.59 m →
171 068 m²		 S 47.379754°
W 22.653809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437065124511719 y=0.649818420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437065124511719 × 216)
    floor (0.437065124511719 × 65536)
    floor (28643.5)     		tx = 28643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649818420410156 × 216)
    floor (0.649818420410156 × 65536)
    floor (42586.5)     		ty = 42586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28643 / 42586 ti = "16/28643/42586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28643/42586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28643 ÷ 216
    28643 ÷ 65536     		x = 0.437057495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42586 ÷ 216
    42586 ÷ 65536     		y = 0.649810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437057495117188 × 2 - 1) × π
    -0.125885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39547942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.29962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.941288960939423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39547942} λ = -0.39547942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941288960939423))-π/2
    2×atan(0.390124655696024)-π/2
    2×0.371964267959859-π/2
    0.743928535919718-1.57079632675     		φ = -0.82686779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39547942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.659302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82686779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.376035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28643 KachelY 42586 -0.39547942 -0.82686779 -22.659302 -47.376035
    Oben rechts KachelX + 1 28644 KachelY 42586 -0.39538355 -0.82686779 -22.653809 -47.376035
    Unten links KachelX 28643 KachelY + 1 42587 -0.39547942 -0.82693271 -22.659302 -47.379754
    Unten rechts KachelX + 1 28644 KachelY + 1 42587 -0.39538355 -0.82693271 -22.653809 -47.379754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82686779--0.82693271) × R
    6.49200000000238e-05 × 6371000     		dl = 413.605320000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82686779--0.82693271) × R
    6.49200000000238e-05 × 6371000     		dr = 413.605320000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39547942--0.39538355) × cos(-0.82686779) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.677183801799395 × 6371000     		do = 413.615584181405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39547942--0.39538355) × cos(-0.82693271) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.67713603133387 × 6371000     		du = 413.586406565295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82686779)-sin(-0.82693271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677183801799395-0.67713603133387)×R²
    abs(-0.39538355--0.39547942)×4.77704655248434e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.77704655248434e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.77704655248434e-05×40589641000000     		ar = 171067.572103809m²