Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28643 / 20963
↖ ↑ ↗
← N 76.535378°
W101.329651°		 ← 71.12 m → N 76.535378°
W101.326904°		 →
↑
71.16 m
↓
↑
71.16 m
↓
N 76.534738°
W101.329651°		 ← 71.12 m →
5 061 m²		 N 76.534738°
W101.326904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218532562255859 y=0.159938812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218532562255859 × 217)
    floor (0.218532562255859 × 131072)
    floor (28643.5)     		tx = 28643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159938812255859 × 217)
    floor (0.159938812255859 × 131072)
    floor (20963.5)     		ty = 20963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28643 / 20963 ti = "17/28643/20963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28643/20963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28643 ÷ 217
    28643 ÷ 131072     		x = 0.218528747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20963 ÷ 217
    20963 ÷ 131072     		y = 0.159934997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218528747558594 × 2 - 1) × π
    -0.562942504882812 × 3.1415926535     		Λ = -1.76853604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159934997558594 × 2 - 1) × π
    0.680130004882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.13669142676476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76853604} λ = -1.76853604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13669142676476))-π/2
    2×atan(8.47136308598344)-π/2
    2×1.45329533114458-π/2
    2.90659066228917-1.57079632675     		φ = 1.33579434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76853604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.329651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33579434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.535378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28643 KachelY 20963 -1.76853604 1.33579434 -101.329651 76.535378
    Oben rechts KachelX + 1 28644 KachelY 20963 -1.76848810 1.33579434 -101.326904 76.535378
    Unten links KachelX 28643 KachelY + 1 20964 -1.76853604 1.33578317 -101.329651 76.534738
    Unten rechts KachelX + 1 28644 KachelY + 1 20964 -1.76848810 1.33578317 -101.326904 76.534738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33579434-1.33578317) × R
    1.11700000000603e-05 × 6371000     		dl = 71.1640700003842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33579434-1.33578317) × R
    1.11700000000603e-05 × 6371000     		dr = 71.1640700003842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76853604--1.76848810) × cos(1.33579434) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.232844917698487 × 6371000     		do = 71.1168312935824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76853604--1.76848810) × cos(1.33578317) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.232855780663987 × 6371000     		du = 71.1201491228586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33579434)-sin(1.33578317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232844917698487-0.232855780663987)×R²
    abs(-1.76848810--1.76853604)×1.08629654992365e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.08629654992365e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.08629654992365e-05×40589641000000     		ar = 5061.08121562344m²