Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28642 / 4526
↖ ↑ ↗
← N 78.246912°
E134.670410°		 ← 248.84 m → N 78.246912°
E134.681396°		 →
↑
248.85 m
↓
↑
248.85 m
↓
N 78.244674°
E134.670410°		 ← 248.89 m →
61 930 m²		 N 78.244674°
E134.681396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874099731445312 y=0.138137817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874099731445312 × 215)
    floor (0.874099731445312 × 32768)
    floor (28642.5)     		tx = 28642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138137817382812 × 215)
    floor (0.138137817382812 × 32768)
    floor (4526.5)     		ty = 4526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28642 / 4526 ti = "15/28642/4526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28642/4526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28642 ÷ 215
    28642 ÷ 32768     		x = 0.87408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4526 ÷ 215
    4526 ÷ 32768     		y = 0.13812255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87408447265625 × 2 - 1) × π
    0.7481689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35044206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13812255859375 × 2 - 1) × π
    0.7237548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2737430227785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35044206} λ = 2.35044206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2737430227785))-π/2
    2×atan(9.71569892174541)-π/2
    2×1.46823129081116-π/2
    2.93646258162232-1.57079632675     		φ = 1.36566625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35044206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36566625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.246912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28642 KachelY 4526 2.35044206 1.36566625 134.670410 78.246912
    Oben rechts KachelX + 1 28643 KachelY 4526 2.35063381 1.36566625 134.681396 78.246912
    Unten links KachelX 28642 KachelY + 1 4527 2.35044206 1.36562719 134.670410 78.244674
    Unten rechts KachelX + 1 28643 KachelY + 1 4527 2.35063381 1.36562719 134.681396 78.244674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36566625-1.36562719) × R
    3.90599999999797e-05 × 6371000     		dl = 248.85125999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36566625-1.36562719) × R
    3.90599999999797e-05 × 6371000     		dr = 248.85125999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35044206-2.35063381) × cos(1.36566625) × R
    0.000191749999999935 × 0.203694511297118 × 6371000     		do = 248.841210010043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35044206-2.35063381) × cos(1.36562719) × R
    0.000191749999999935 × 0.203732752229169 × 6371000     		du = 248.887926633594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36566625)-sin(1.36562719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203694511297118-0.203732752229169)×R²
    abs(2.35063381-2.35044206)×3.8240932051431e-05×R²
    0.000191749999999935×3.8240932051431e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.8240932051431e-05×40589641000000     		ar = 61930.2614039855m²