Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28642 / 43172
↖ ↑ ↗
← S 49.510944°
W 22.664795°		 ← 396.63 m → S 49.510944°
W 22.659302°		 →
↑
396.59 m
↓
↑
396.59 m
↓
S 49.514510°
W 22.664795°		 ← 396.60 m →
157 295 m²		 S 49.514510°
W 22.659302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437049865722656 y=0.658760070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437049865722656 × 216)
    floor (0.437049865722656 × 65536)
    floor (28642.5)     		tx = 28642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658760070800781 × 216)
    floor (0.658760070800781 × 65536)
    floor (43172.5)     		ty = 43172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28642 / 43172 ti = "16/28642/43172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28642/43172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28642 ÷ 216
    28642 ÷ 65536     		x = 0.437042236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43172 ÷ 216
    43172 ÷ 65536     		y = 0.65875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437042236328125 × 2 - 1) × π
    -0.12591552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39557530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.3175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.997471007294128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39557530} λ = -0.39557530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997471007294128))-π/2
    2×atan(0.368810983029591)-π/2
    2×0.35333367335157-π/2
    0.70666734670314-1.57079632675     		φ = -0.86412898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39557530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.664795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86412898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.510944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28642 KachelY 43172 -0.39557530 -0.86412898 -22.664795 -49.510944
    Oben rechts KachelX + 1 28643 KachelY 43172 -0.39547942 -0.86412898 -22.659302 -49.510944
    Unten links KachelX 28642 KachelY + 1 43173 -0.39557530 -0.86419123 -22.664795 -49.514510
    Unten rechts KachelX + 1 28643 KachelY + 1 43173 -0.39547942 -0.86419123 -22.659302 -49.514510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86412898--0.86419123) × R
    6.22499999999304e-05 × 6371000     		dl = 396.594749999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86412898--0.86419123) × R
    6.22499999999304e-05 × 6371000     		dr = 396.594749999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39557530--0.39547942) × cos(-0.86412898) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649302798745507 × 6371000     		do = 396.627575581805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39557530--0.39547942) × cos(-0.86419123) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649255454495213 × 6371000     		du = 396.598655276443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86412898)-sin(-0.86419123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649302798745507-0.649255454495213)×R²
    abs(-0.39547942--0.39557530)×4.73442502945121e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73442502945121e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73442502945121e-05×40589641000000     		ar = 157294.679410883m²