Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28640 / 19423
↖ ↑ ↗
← N 58.907483°
W 22.675781°		 ← 315.42 m → N 58.907483°
W 22.670288°		 →
↑
315.49 m
↓
↑
315.49 m
↓
N 58.904646°
W 22.675781°		 ← 315.45 m →
99 518 m²		 N 58.904646°
W 22.670288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437019348144531 y=0.296379089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437019348144531 × 216)
    floor (0.437019348144531 × 65536)
    floor (28640.5)     		tx = 28640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296379089355469 × 216)
    floor (0.296379089355469 × 65536)
    floor (19423.5)     		ty = 19423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28640 / 19423 ti = "16/28640/19423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28640/19423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28640 ÷ 216
    28640 ÷ 65536     		x = 0.43701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19423 ÷ 216
    19423 ÷ 65536     		y = 0.296371459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296371459960938 × 2 - 1) × π
    0.407257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2794358508593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39576704} λ = -0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2794358508593))-π/2
    2×atan(3.594611256592)-π/2
    2×1.29946292616903-π/2
    2.59892585233806-1.57079632675     		φ = 1.02812953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02812953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.907483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28640 KachelY 19423 -0.39576704 1.02812953 -22.675781 58.907483
    Oben rechts KachelX + 1 28641 KachelY 19423 -0.39567117 1.02812953 -22.670288 58.907483
    Unten links KachelX 28640 KachelY + 1 19424 -0.39576704 1.02808001 -22.675781 58.904646
    Unten rechts KachelX + 1 28641 KachelY + 1 19424 -0.39567117 1.02808001 -22.670288 58.904646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02812953-1.02808001) × R
    4.95199999999141e-05 × 6371000     		dl = 315.491919999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02812953-1.02808001) × R
    4.95199999999141e-05 × 6371000     		dr = 315.491919999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39576704--0.39567117) × cos(1.02812953) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516421495487938 × 6371000     		do = 315.423933609136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39576704--0.39567117) × cos(1.02808001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516463900540993 × 6371000     		du = 315.449834096928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02812953)-sin(1.02808001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516421495487938-0.516463900540993)×R²
    abs(-0.39567117--0.39576704)×4.24050530550835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24050530550835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24050530550835e-05×40589641000000     		ar = 99517.7881454947m²