Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28639 / 4083
↖ ↑ ↗
← N 79.198134°
E134.637451°		 ← 228.95 m → N 79.198134°
E134.648438°		 →
↑
228.97 m
↓
↑
228.97 m
↓
N 79.196075°
E134.637451°		 ← 228.99 m →
52 429 m²		 N 79.196075°
E134.648438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874008178710938 y=0.124618530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874008178710938 × 215)
    floor (0.874008178710938 × 32768)
    floor (28639.5)     		tx = 28639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124618530273438 × 215)
    floor (0.124618530273438 × 32768)
    floor (4083.5)     		ty = 4083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28639 / 4083 ti = "15/28639/4083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28639/4083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28639 ÷ 215
    28639 ÷ 32768     		x = 0.873992919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4083 ÷ 215
    4083 ÷ 32768     		y = 0.124603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873992919921875 × 2 - 1) × π
    0.74798583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34986682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124603271484375 × 2 - 1) × π
    0.75079345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35868720890524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34986682} λ = 2.34986682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35868720890524))-π/2
    2×atan(10.5770568680209)-π/2
    2×1.47653226525617-π/2
    2.95306453051235-1.57079632675     		φ = 1.38226820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34986682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.637451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38226820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.198134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28639 KachelY 4083 2.34986682 1.38226820 134.637451 79.198134
    Oben rechts KachelX + 1 28640 KachelY 4083 2.35005857 1.38226820 134.648438 79.198134
    Unten links KachelX 28639 KachelY + 1 4084 2.34986682 1.38223226 134.637451 79.196075
    Unten rechts KachelX + 1 28640 KachelY + 1 4084 2.35005857 1.38223226 134.648438 79.196075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38226820-1.38223226) × R
    3.59399999998455e-05 × 6371000     		dl = 228.973739999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38226820-1.38223226) × R
    3.59399999998455e-05 × 6371000     		dr = 228.973739999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34986682-2.35005857) × cos(1.38226820) × R
    0.000191749999999935 × 0.187413305204485 × 6371000     		do = 228.951449609951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34986682-2.35005857) × cos(1.38223226) × R
    0.000191749999999935 × 0.187448608267885 × 6371000     		du = 228.994577217845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38226820)-sin(1.38223226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187413305204485-0.187448608267885)×R²
    abs(2.35005857-2.34986682)×3.53030633995222e-05×R²
    0.000191749999999935×3.53030633995222e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.53030633995222e-05×40589641000000     		ar = 52428.8072461238m²