Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28639 / 40576
↖ ↑ ↗
← S 39.368279°
W 22.681275°		 ← 472.24 m → S 39.368279°
W 22.675781°		 →
↑
472.22 m
↓
↑
472.22 m
↓
S 39.372526°
W 22.681275°		 ← 472.21 m →
222 994 m²		 S 39.372526°
W 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437004089355469 y=0.619148254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437004089355469 × 216)
    floor (0.437004089355469 × 65536)
    floor (28639.5)     		tx = 28639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619148254394531 × 216)
    floor (0.619148254394531 × 65536)
    floor (40576.5)     		ty = 40576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28639 / 40576 ti = "16/28639/40576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28639/40576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28639 ÷ 216
    28639 ÷ 65536     		x = 0.436996459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40576 ÷ 216
    40576 ÷ 65536     		y = 0.619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436996459960938 × 2 - 1) × π
    -0.126007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39586292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619140625 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39586292} λ = -0.39586292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748582624466797))-π/2
    2×atan(0.473036548241022)-π/2
    2×0.441845117407181-π/2
    0.883690234814362-1.57079632675     		φ = -0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39586292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.681275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28639 KachelY 40576 -0.39586292 -0.68710609 -22.681275 -39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 28640 KachelY 40576 -0.39576704 -0.68710609 -22.675781 -39.368279
    Unten links KachelX 28639 KachelY + 1 40577 -0.39586292 -0.68718021 -22.681275 -39.372526
    Unten rechts KachelX + 1 28640 KachelY + 1 40577 -0.39576704 -0.68718021 -22.675781 -39.372526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68710609--0.68718021) × R
    7.41199999999553e-05 × 6371000     		dl = 472.218519999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68710609--0.68718021) × R
    7.41199999999553e-05 × 6371000     		dr = 472.218519999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39586292--0.39576704) × cos(-0.68710609) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 472.240033500247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39586292--0.39576704) × cos(-0.68718021) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.773037847629899 × 6371000     		du = 472.211313320702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68710609)-sin(-0.68718021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.773037847629899)×R²
    abs(-0.39576704--0.39586292)×4.70166324959553e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70166324959553e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70166324959553e-05×40589641000000     		ar = 222993.708705784m²