Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28639 / 20523
↖ ↑ ↗
← N 76.813903°
W101.340637°		 ← 69.67 m → N 76.813903°
W101.337891°		 →
↑
69.70 m
↓
↑
69.70 m
↓
N 76.813276°
W101.340637°		 ← 69.68 m →
4 856 m²		 N 76.813276°
W101.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218502044677734 y=0.156581878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218502044677734 × 217)
    floor (0.218502044677734 × 131072)
    floor (28639.5)     		tx = 28639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156581878662109 × 217)
    floor (0.156581878662109 × 131072)
    floor (20523.5)     		ty = 20523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28639 / 20523 ti = "17/28639/20523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28639/20523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28639 ÷ 217
    28639 ÷ 131072     		x = 0.218498229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20523 ÷ 217
    20523 ÷ 131072     		y = 0.156578063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218498229980469 × 2 - 1) × π
    -0.563003540039062 × 3.1415926535     		Λ = -1.76872779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156578063964844 × 2 - 1) × π
    0.686843872070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.15778366259759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76872779} λ = -1.76872779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15778366259759))-π/2
    2×atan(8.65194077299534)-π/2
    2×1.45572591751183-π/2
    2.91145183502367-1.57079632675     		φ = 1.34065551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76872779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.340637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34065551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.813903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28639 KachelY 20523 -1.76872779 1.34065551 -101.340637 76.813903
    Oben rechts KachelX + 1 28640 KachelY 20523 -1.76867985 1.34065551 -101.337891 76.813903
    Unten links KachelX 28639 KachelY + 1 20524 -1.76872779 1.34064457 -101.340637 76.813276
    Unten rechts KachelX + 1 28640 KachelY + 1 20524 -1.76867985 1.34064457 -101.337891 76.813276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34065551-1.34064457) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dl = 69.6987399993871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34065551-1.34064457) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dr = 69.6987399993871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76872779--1.76867985) × cos(1.34065551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228114629855453 × 6371000     		do = 69.6720796283822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76872779--1.76867985) × cos(1.34064457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22812528140085 × 6371000     		du = 69.6753328845173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34065551)-sin(1.34064457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228114629855453-0.22812528140085)×R²
    abs(-1.76867985--1.76872779)×1.06515453971445e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06515453971445e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06515453971445e-05×40589641000000     		ar = 4856.16953722189m²