Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28637 / 14945
↖ ↑ ↗
← N 69.471042°
W 22.692260°		 ← 214.19 m → N 69.471042°
W 22.686768°		 →
↑
214.19 m
↓
↑
214.19 m
↓
N 69.469116°
W 22.692260°		 ← 214.21 m →
45 880 m²		 N 69.469116°
W 22.686768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436973571777344 y=0.228050231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436973571777344 × 216)
    floor (0.436973571777344 × 65536)
    floor (28637.5)     		tx = 28637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228050231933594 × 216)
    floor (0.228050231933594 × 65536)
    floor (14945.5)     		ty = 14945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28637 / 14945 ti = "16/28637/14945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28637/14945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28637 ÷ 216
    28637 ÷ 65536     		x = 0.436965942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14945 ÷ 216
    14945 ÷ 65536     		y = 0.228042602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436965942382812 × 2 - 1) × π
    -0.126068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39605466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228042602539062 × 2 - 1) × π
    0.543914794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70875872385652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39605466} λ = -0.39605466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70875872385652))-π/2
    2×atan(5.52210276730101)-π/2
    2×1.3916473746872-π/2
    2.7832947493744-1.57079632675     		φ = 1.21249842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39605466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.692260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21249842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.471042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28637 KachelY 14945 -0.39605466 1.21249842 -22.692260 69.471042
    Oben rechts KachelX + 1 28638 KachelY 14945 -0.39595879 1.21249842 -22.686768 69.471042
    Unten links KachelX 28637 KachelY + 1 14946 -0.39605466 1.21246480 -22.692260 69.469116
    Unten rechts KachelX + 1 28638 KachelY + 1 14946 -0.39595879 1.21246480 -22.686768 69.469116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21249842-1.21246480) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dl = 214.193019999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21249842-1.21246480) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dr = 214.193019999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39605466--0.39595879) × cos(1.21249842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350680740129542 × 6371000     		do = 214.191507245668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39605466--0.39595879) × cos(1.21246480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350712224895644 × 6371000     		du = 214.210737755744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21249842)-sin(1.21246480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350680740129542-0.350712224895644)×R²
    abs(-0.39595879--0.39605466)×3.14847661019302e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14847661019302e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14847661019302e-05×40589641000000     		ar = 45880.3853200976m²