Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28636 / 4540
↖ ↑ ↗
← N 78.215541°
E134.604492°		 ← 249.48 m → N 78.215541°
E134.615478°		 →
↑
249.49 m
↓
↑
249.49 m
↓
N 78.213297°
E134.604492°		 ← 249.53 m →
62 249 m²		 N 78.213297°
E134.615478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873916625976562 y=0.138565063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873916625976562 × 215)
    floor (0.873916625976562 × 32768)
    floor (28636.5)     		tx = 28636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138565063476562 × 215)
    floor (0.138565063476562 × 32768)
    floor (4540.5)     		ty = 4540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28636 / 4540 ti = "15/28636/4540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28636/4540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28636 ÷ 215
    28636 ÷ 32768     		x = 0.8739013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4540 ÷ 215
    4540 ÷ 32768     		y = 0.1385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8739013671875 × 2 - 1) × π
    0.747802734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34929158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1385498046875 × 2 - 1) × π
    0.722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27105855639978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34929158} λ = 2.34929158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27105855639978))-π/2
    2×atan(9.68965243075056)-π/2
    2×1.46795752570248-π/2
    2.93591505140497-1.57079632675     		φ = 1.36511872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34929158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36511872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.215541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28636 KachelY 4540 2.34929158 1.36511872 134.604492 78.215541
    Oben rechts KachelX + 1 28637 KachelY 4540 2.34948332 1.36511872 134.615478 78.215541
    Unten links KachelX 28636 KachelY + 1 4541 2.34929158 1.36507956 134.604492 78.213297
    Unten rechts KachelX + 1 28637 KachelY + 1 4541 2.34948332 1.36507956 134.615478 78.213297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36511872-1.36507956) × R
    3.9159999999816e-05 × 6371000     		dl = 249.488359998828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36511872-1.36507956) × R
    3.9159999999816e-05 × 6371000     		dr = 249.488359998828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34929158-2.34948332) × cos(1.36511872) × R
    0.000191739999999996 × 0.204230531495711 × 6371000     		do = 249.483021796355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34929158-2.34948332) × cos(1.36507956) × R
    0.000191739999999996 × 0.204268865956788 × 6371000     		du = 249.529850236345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36511872)-sin(1.36507956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204230531495711-0.204268865956788)×R²
    abs(2.34948332-2.34929158)×3.83344610766778e-05×R²
    0.000191739999999996×3.83344610766778e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.83344610766778e-05×40589641000000     		ar = 62248.9515387319m²