Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28635 / 42458
↖ ↑ ↗
← S 46.897739°
W 22.703247°		 ← 417.35 m → S 46.897739°
W 22.697754°		 →
↑
417.36 m
↓
↑
417.36 m
↓
S 46.901493°
W 22.703247°		 ← 417.32 m →
174 182 m²		 S 46.901493°
W 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436943054199219 y=0.647865295410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436943054199219 × 216)
    floor (0.436943054199219 × 65536)
    floor (28635.5)     		tx = 28635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647865295410156 × 216)
    floor (0.647865295410156 × 65536)
    floor (42458.5)     		ty = 42458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28635 / 42458 ti = "16/28635/42458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28635/42458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28635 ÷ 216
    28635 ÷ 65536     		x = 0.436935424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42458 ÷ 216
    42458 ÷ 65536     		y = 0.647857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436935424804688 × 2 - 1) × π
    -0.126129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39624641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647857666015625 × 2 - 1) × π
    -0.29571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.929017114636688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39624641} λ = -0.39624641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929017114636688))-π/2
    2×atan(0.394941702083017)-π/2
    2×0.376138184014854-π/2
    0.752276368029709-1.57079632675     		φ = -0.81851996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39624641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.703247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81851996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.897739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28635 KachelY 42458 -0.39624641 -0.81851996 -22.703247 -46.897739
    Oben rechts KachelX + 1 28636 KachelY 42458 -0.39615054 -0.81851996 -22.697754 -46.897739
    Unten links KachelX 28635 KachelY + 1 42459 -0.39624641 -0.81858547 -22.703247 -46.901493
    Unten rechts KachelX + 1 28636 KachelY + 1 42459 -0.39615054 -0.81858547 -22.697754 -46.901493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81851996--0.81858547) × R
    6.55099999999909e-05 × 6371000     		dl = 417.364209999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81851996--0.81858547) × R
    6.55099999999909e-05 × 6371000     		dr = 417.364209999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39624641--0.39615054) × cos(-0.81851996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683302584757456 × 6371000     		do = 417.352861979233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39624641--0.39615054) × cos(-0.81858547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683254752126812 × 6371000     		du = 417.323646393429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81851996)-sin(-0.81858547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683302584757456-0.683254752126812)×R²
    abs(-0.39615054--0.39624641)×4.78326306440069e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78326306440069e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78326306440069e-05×40589641000000     		ar = 174182.050823502m²