Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28634 / 42509
↖ ↑ ↗
← S 47.088826°
W 22.708740°		 ← 415.91 m → S 47.088826°
W 22.703247°		 →
↑
415.84 m
↓
↑
415.84 m
↓
S 47.092565°
W 22.708740°		 ← 415.88 m →
172 943 m²		 S 47.092565°
W 22.703247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436927795410156 y=0.648643493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436927795410156 × 216)
    floor (0.436927795410156 × 65536)
    floor (28634.5)     		tx = 28634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648643493652344 × 216)
    floor (0.648643493652344 × 65536)
    floor (42509.5)     		ty = 42509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28634 / 42509 ti = "16/28634/42509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28634/42509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28634 ÷ 216
    28634 ÷ 65536     		x = 0.436920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42509 ÷ 216
    42509 ÷ 65536     		y = 0.648635864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.12615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39634229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648635864257812 × 2 - 1) × π
    -0.297271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.933906678397934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39634229} λ = -0.39634229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933906678397934))-π/2
    2×atan(0.39301532286368)-π/2
    2×0.374470639707728-π/2
    0.748941279415456-1.57079632675     		φ = -0.82185505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39634229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.708740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82185505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.088826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28634 KachelY 42509 -0.39634229 -0.82185505 -22.708740 -47.088826
    Oben rechts KachelX + 1 28635 KachelY 42509 -0.39624641 -0.82185505 -22.703247 -47.088826
    Unten links KachelX 28634 KachelY + 1 42510 -0.39634229 -0.82192032 -22.708740 -47.092565
    Unten rechts KachelX + 1 28635 KachelY + 1 42510 -0.39624641 -0.82192032 -22.703247 -47.092565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82185505--0.82192032) × R
    6.52700000000062e-05 × 6371000     		dl = 415.835170000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82185505--0.82192032) × R
    6.52700000000062e-05 × 6371000     		dr = 415.835170000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39634229--0.39624641) × cos(-0.82185505) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680863722161016 × 6371000     		do = 415.906612360333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39634229--0.39624641) × cos(-0.82192032) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680815916301864 × 6371000     		du = 415.877410080518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82185505)-sin(-0.82192032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680863722161016-0.680815916301864)×R²
    abs(-0.39624641--0.39634229)×4.78058591519837e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78058591519837e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78058591519837e-05×40589641000000     		ar = 172942.525248839m²