Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28634 / 40546
↖ ↑ ↗
← S 39.240763°
W 22.708740°		 ← 473.10 m → S 39.240763°
W 22.703247°		 →
↑
473.05 m
↓
↑
473.05 m
↓
S 39.245017°
W 22.708740°		 ← 473.07 m →
223 792 m²		 S 39.245017°
W 22.703247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436927795410156 y=0.618690490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436927795410156 × 216)
    floor (0.436927795410156 × 65536)
    floor (28634.5)     		tx = 28634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618690490722656 × 216)
    floor (0.618690490722656 × 65536)
    floor (40546.5)     		ty = 40546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28634 / 40546 ti = "16/28634/40546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28634/40546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28634 ÷ 216
    28634 ÷ 65536     		x = 0.436920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40546 ÷ 216
    40546 ÷ 65536     		y = 0.618682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.12615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39634229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.23736572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.745706410489594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39634229} λ = -0.39634229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745706410489594))-π/2
    2×atan(0.474399061072732)-π/2
    2×0.442957910009261-π/2
    0.885915820018521-1.57079632675     		φ = -0.68488051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39634229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.708740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68488051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.240763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28634 KachelY 40546 -0.39634229 -0.68488051 -22.708740 -39.240763
    Oben rechts KachelX + 1 28635 KachelY 40546 -0.39624641 -0.68488051 -22.703247 -39.240763
    Unten links KachelX 28634 KachelY + 1 40547 -0.39634229 -0.68495476 -22.708740 -39.245017
    Unten rechts KachelX + 1 28635 KachelY + 1 40547 -0.39624641 -0.68495476 -22.703247 -39.245017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68488051--0.68495476) × R
    7.42499999999424e-05 × 6371000     		dl = 473.046749999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68488051--0.68495476) × R
    7.42499999999424e-05 × 6371000     		dr = 473.046749999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39634229--0.39624641) × cos(-0.68488051) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.774494639661382 × 6371000     		do = 473.101196889185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39634229--0.39624641) × cos(-0.68495476) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.774447668426485 × 6371000     		du = 473.072504440831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68488051)-sin(-0.68495476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774494639661382-0.774447668426485)×R²
    abs(-0.39624641--0.39634229)×4.6971234896831e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6971234896831e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6971234896831e-05×40589641000000     		ar = 223792.197277617m²