Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28634 / 20423
↖ ↑ ↗
← N 76.876410°
W101.354370°		 ← 69.35 m → N 76.876410°
W101.351623°		 →
↑
69.32 m
↓
↑
69.32 m
↓
N 76.875787°
W101.354370°		 ← 69.35 m →
4 807 m²		 N 76.875787°
W101.351623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218463897705078 y=0.155818939208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218463897705078 × 217)
    floor (0.218463897705078 × 131072)
    floor (28634.5)     		tx = 28634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155818939208984 × 217)
    floor (0.155818939208984 × 131072)
    floor (20423.5)     		ty = 20423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28634 / 20423 ti = "17/28634/20423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28634/20423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28634 ÷ 217
    28634 ÷ 131072     		x = 0.218460083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20423 ÷ 217
    20423 ÷ 131072     		y = 0.155815124511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218460083007812 × 2 - 1) × π
    -0.563079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76896747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155815124511719 × 2 - 1) × π
    0.688369750976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.16257735255959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76896747} λ = -1.76896747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16257735255959))-π/2
    2×atan(8.69351506214412)-π/2
    2×1.45627139886004-π/2
    2.91254279772008-1.57079632675     		φ = 1.34174647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76896747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.354370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34174647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.876410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28634 KachelY 20423 -1.76896747 1.34174647 -101.354370 76.876410
    Oben rechts KachelX + 1 28635 KachelY 20423 -1.76891953 1.34174647 -101.351623 76.876410
    Unten links KachelX 28634 KachelY + 1 20424 -1.76896747 1.34173559 -101.354370 76.875787
    Unten rechts KachelX + 1 28635 KachelY + 1 20424 -1.76891953 1.34173559 -101.351623 76.875787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34174647-1.34173559) × R
    1.08799999998244e-05 × 6371000     		dl = 69.316479998881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34174647-1.34173559) × R
    1.08799999998244e-05 × 6371000     		dr = 69.316479998881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76896747--1.76891953) × cos(1.34174647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227052298259265 × 6371000     		do = 69.3476162144913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76896747--1.76891953) × cos(1.34173559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227062894088153 × 6371000     		du = 69.3508524533702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34174647)-sin(1.34173559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227052298259265-0.227062894088153)×R²
    abs(-1.76891953--1.76896747)×1.05958288874608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05958288874608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05958288874608e-05×40589641000000     		ar = 4807.04481470042m²