Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28633 / 15023
↖ ↑ ↗
← N 69.320260°
W 22.714233°		 ← 215.70 m → N 69.320260°
W 22.708740°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
N 69.318320°
W 22.714233°		 ← 215.72 m →
46 532 m²		 N 69.318320°
W 22.708740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436912536621094 y=0.229240417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436912536621094 × 216)
    floor (0.436912536621094 × 65536)
    floor (28633.5)     		tx = 28633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229240417480469 × 216)
    floor (0.229240417480469 × 65536)
    floor (15023.5)     		ty = 15023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28633 / 15023 ti = "16/28633/15023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28633/15023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28633 ÷ 216
    28633 ÷ 65536     		x = 0.436904907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15023 ÷ 216
    15023 ÷ 65536     		y = 0.229232788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436904907226562 × 2 - 1) × π
    -0.126190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39643816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229232788085938 × 2 - 1) × π
    0.541534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70128056751579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39643816} λ = -0.39643816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70128056751579))-π/2
    2×atan(5.48096164109162)-π/2
    2×1.39033155136066-π/2
    2.78066310272132-1.57079632675     		φ = 1.20986678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39643816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.714233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20986678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.320260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28633 KachelY 15023 -0.39643816 1.20986678 -22.714233 69.320260
    Oben rechts KachelX + 1 28634 KachelY 15023 -0.39634229 1.20986678 -22.708740 69.320260
    Unten links KachelX 28633 KachelY + 1 15024 -0.39643816 1.20983292 -22.714233 69.318320
    Unten rechts KachelX + 1 28634 KachelY + 1 15024 -0.39634229 1.20983292 -22.708740 69.318320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20986678-1.20983292) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dl = 215.722060000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20986678-1.20983292) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dr = 215.722060000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39643816--0.39634229) × cos(1.20986678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353144040850071 × 6371000     		do = 215.696061199599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39643816--0.39634229) × cos(1.20983292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353175719012746 × 6371000     		du = 215.715409833937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20986678)-sin(1.20983292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353144040850071-0.353175719012746)×R²
    abs(-0.39634229--0.39643816)×3.16781626755192e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16781626755192e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16781626755192e-05×40589641000000     		ar = 46532.4856242691m²