Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28632 / 40574
↖ ↑ ↗
← S 39.359786°
W 22.719726°		 ← 472.25 m → S 39.359786°
W 22.714233°		 →
↑
472.22 m
↓
↑
472.22 m
↓
S 39.364032°
W 22.719726°		 ← 472.22 m →
222 998 m²		 S 39.364032°
W 22.714233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436897277832031 y=0.619117736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436897277832031 × 216)
    floor (0.436897277832031 × 65536)
    floor (28632.5)     		tx = 28632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619117736816406 × 216)
    floor (0.619117736816406 × 65536)
    floor (40574.5)     		ty = 40574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28632 / 40574 ti = "16/28632/40574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28632/40574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28632 ÷ 216
    28632 ÷ 65536     		x = 0.4368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40574 ÷ 216
    40574 ÷ 65536     		y = 0.619110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.23822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.748390876868317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39653403} λ = -0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748390876868317))-π/2
    2×atan(0.473127260559797)-π/2
    2×0.441919240497417-π/2
    0.883838480994834-1.57079632675     		φ = -0.68695785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68695785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.359786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28632 KachelY 40574 -0.39653403 -0.68695785 -22.719726 -39.359786
    Oben rechts KachelX + 1 28633 KachelY 40574 -0.39643816 -0.68695785 -22.714233 -39.359786
    Unten links KachelX 28632 KachelY + 1 40575 -0.39653403 -0.68703197 -22.719726 -39.364032
    Unten rechts KachelX + 1 28633 KachelY + 1 40575 -0.39643816 -0.68703197 -22.714233 -39.364032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68695785--0.68703197) × R
    7.41200000000664e-05 × 6371000     		dl = 472.218520000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68695785--0.68703197) × R
    7.41200000000664e-05 × 6371000     		dr = 472.218520000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39653403--0.39643816) × cos(-0.68695785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773178884785668 × 6371000     		do = 472.248206849314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39653403--0.39643816) × cos(-0.68703197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773131876647737 × 6371000     		du = 472.219494853576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68695785)-sin(-0.68703197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773178884785668-0.773131876647737)×R²
    abs(-0.39643816--0.39653403)×4.70081379301268e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70081379301268e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70081379301268e-05×40589641000000     		ar = 222997.570245544m²