Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28632 / 21245
↖ ↑ ↗
← N 53.340713°
W 22.719726°		 ← 364.67 m → N 53.340713°
W 22.714233°		 →
↑
364.68 m
↓
↑
364.68 m
↓
N 53.337434°
W 22.719726°		 ← 364.70 m →
132 993 m²		 N 53.337434°
W 22.714233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436897277832031 y=0.324180603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436897277832031 × 216)
    floor (0.436897277832031 × 65536)
    floor (28632.5)     		tx = 28632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324180603027344 × 216)
    floor (0.324180603027344 × 65536)
    floor (21245.5)     		ty = 21245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28632 / 21245 ti = "16/28632/21245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28632/21245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28632 ÷ 216
    28632 ÷ 65536     		x = 0.4368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21245 ÷ 216
    21245 ÷ 65536     		y = 0.324172973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324172973632812 × 2 - 1) × π
    0.351654052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10475378864381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39653403} λ = -0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10475378864381))-π/2
    2×atan(3.01848119296071)-π/2
    2×1.2508836994878-π/2
    2.5017673989756-1.57079632675     		φ = 0.93097107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93097107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.340713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28632 KachelY 21245 -0.39653403 0.93097107 -22.719726 53.340713
    Oben rechts KachelX + 1 28633 KachelY 21245 -0.39643816 0.93097107 -22.714233 53.340713
    Unten links KachelX 28632 KachelY + 1 21246 -0.39653403 0.93091383 -22.719726 53.337434
    Unten rechts KachelX + 1 28633 KachelY + 1 21246 -0.39643816 0.93091383 -22.714233 53.337434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93097107-0.93091383) × R
    5.72399999999584e-05 × 6371000     		dl = 364.676039999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93097107-0.93091383) × R
    5.72399999999584e-05 × 6371000     		dr = 364.676039999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39653403--0.39643816) × cos(0.93097107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597055271461835 × 6371000     		do = 364.674057822911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39653403--0.39643816) × cos(0.93091383) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597101188417518 × 6371000     		du = 364.702103337878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93097107)-sin(0.93091383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597055271461835-0.597101188417518)×R²
    abs(-0.39643816--0.39653403)×4.59169556826788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59169556826788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59169556826788e-05×40589641000000     		ar = 132993.005097577m²