Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28629 / 21165
↖ ↑ ↗
← N 53.602284°
W 22.736206°		 ← 362.47 m → N 53.602284°
W 22.730713°		 →
↑
362.45 m
↓
↑
362.45 m
↓
N 53.599025°
W 22.736206°		 ← 362.50 m →
131 381 m²		 N 53.599025°
W 22.730713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436851501464844 y=0.322959899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436851501464844 × 216)
    floor (0.436851501464844 × 65536)
    floor (28629.5)     		tx = 28629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322959899902344 × 216)
    floor (0.322959899902344 × 65536)
    floor (21165.5)     		ty = 21165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28629 / 21165 ti = "16/28629/21165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28629/21165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28629 ÷ 216
    28629 ÷ 65536     		x = 0.436843872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21165 ÷ 216
    21165 ÷ 65536     		y = 0.322952270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436843872070312 × 2 - 1) × π
    -0.126312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39682166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322952270507812 × 2 - 1) × π
    0.354095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11242369258302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39682166} λ = -0.39682166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11242369258302))-π/2
    2×atan(3.04172166591925)-π/2
    2×1.25316634028988-π/2
    2.50633268057976-1.57079632675     		φ = 0.93553635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39682166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.736206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93553635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.602284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28629 KachelY 21165 -0.39682166 0.93553635 -22.736206 53.602284
    Oben rechts KachelX + 1 28630 KachelY 21165 -0.39672578 0.93553635 -22.730713 53.602284
    Unten links KachelX 28629 KachelY + 1 21166 -0.39682166 0.93547946 -22.736206 53.599025
    Unten rechts KachelX + 1 28630 KachelY + 1 21166 -0.39672578 0.93547946 -22.730713 53.599025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93553635-0.93547946) × R
    5.68899999999761e-05 × 6371000     		dl = 362.446189999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93553635-0.93547946) × R
    5.68899999999761e-05 × 6371000     		dr = 362.446189999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39682166--0.39672578) × cos(0.93553635) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.593386794266945 × 6371000     		do = 362.471201490601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39682166--0.39672578) × cos(0.93547946) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.593432585060802 × 6371000     		du = 362.499172864799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93553635)-sin(0.93547946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593386794266945-0.593432585060802)×R²
    abs(-0.39672578--0.39682166)×4.57907938572477e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.57907938572477e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.57907938572477e-05×40589641000000     		ar = 131381.375059118m²