Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28627 / 40527
↖ ↑ ↗
← S 39.159882°
W 22.747192°		 ← 473.60 m → S 39.159882°
W 22.741699°		 →
↑
473.62 m
↓
↑
473.62 m
↓
S 39.164141°
W 22.747192°		 ← 473.57 m →
224 298 m²		 S 39.164141°
W 22.741699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436820983886719 y=0.618400573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436820983886719 × 216)
    floor (0.436820983886719 × 65536)
    floor (28627.5)     		tx = 28627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618400573730469 × 216)
    floor (0.618400573730469 × 65536)
    floor (40527.5)     		ty = 40527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28627 / 40527 ti = "16/28627/40527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28627/40527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28627 ÷ 216
    28627 ÷ 65536     		x = 0.436813354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40527 ÷ 216
    40527 ÷ 65536     		y = 0.618392944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436813354492188 × 2 - 1) × π
    -0.126373291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39701340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618392944335938 × 2 - 1) × π
    -0.236785888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.743884808304031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39701340} λ = -0.39701340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743884808304031))-π/2
    2×atan(0.475264015001017)-π/2
    2×0.443663726922894-π/2
    0.887327453845788-1.57079632675     		φ = -0.68346887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39701340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.747192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68346887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.159882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28627 KachelY 40527 -0.39701340 -0.68346887 -22.747192 -39.159882
    Oben rechts KachelX + 1 28628 KachelY 40527 -0.39691753 -0.68346887 -22.741699 -39.159882
    Unten links KachelX 28627 KachelY + 1 40528 -0.39701340 -0.68354321 -22.747192 -39.164141
    Unten rechts KachelX + 1 28628 KachelY + 1 40528 -0.39691753 -0.68354321 -22.741699 -39.164141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68346887--0.68354321) × R
    7.43399999999506e-05 × 6371000     		dl = 473.620139999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68346887--0.68354321) × R
    7.43399999999506e-05 × 6371000     		dr = 473.620139999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39701340--0.39691753) × cos(-0.68346887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775386843583579 × 6371000     		do = 473.596801079743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39701340--0.39691753) × cos(-0.68354321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775339896732112 × 6371000     		du = 473.568126517027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68346887)-sin(-0.68354321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775386843583579-0.775339896732112)×R²
    abs(-0.39691753--0.39701340)×4.69468514672222e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69468514672222e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69468514672222e-05×40589641000000     		ar = 224298.192909056m²