Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28626 / 21158
↖ ↑ ↗
← N 53.625096°
W 22.752686°		 ← 362.28 m → N 53.625096°
W 22.747192°		 →
↑
362.26 m
↓
↑
362.26 m
↓
N 53.621838°
W 22.752686°		 ← 362.30 m →
131 241 m²		 N 53.621838°
W 22.747192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436805725097656 y=0.322853088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436805725097656 × 216)
    floor (0.436805725097656 × 65536)
    floor (28626.5)     		tx = 28626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322853088378906 × 216)
    floor (0.322853088378906 × 65536)
    floor (21158.5)     		ty = 21158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28626 / 21158 ti = "16/28626/21158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28626/21158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28626 ÷ 216
    28626 ÷ 65536     		x = 0.436798095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21158 ÷ 216
    21158 ÷ 65536     		y = 0.322845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.12640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39710928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322845458984375 × 2 - 1) × π
    0.35430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1130948091777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39710928} λ = -0.39710928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1130948091777))-π/2
    2×atan(3.0437637009508)-π/2
    2×1.25336540237508-π/2
    2.50673080475017-1.57079632675     		φ = 0.93593448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39710928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.752686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93593448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.625096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28626 KachelY 21158 -0.39710928 0.93593448 -22.752686 53.625096
    Oben rechts KachelX + 1 28627 KachelY 21158 -0.39701340 0.93593448 -22.747192 53.625096
    Unten links KachelX 28626 KachelY + 1 21159 -0.39710928 0.93587762 -22.752686 53.621838
    Unten rechts KachelX + 1 28627 KachelY + 1 21159 -0.39701340 0.93587762 -22.747192 53.621838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93593448-0.93587762) × R
    5.68600000000474e-05 × 6371000     		dl = 362.255060000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93593448-0.93587762) × R
    5.68600000000474e-05 × 6371000     		dr = 362.255060000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39710928--0.39701340) × cos(0.93593448) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.593066285460176 × 6371000     		do = 362.275418211423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39710928--0.39701340) × cos(0.93587762) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.593112065537309 × 6371000     		du = 362.303383039294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93593448)-sin(0.93587762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593066285460176-0.593112065537309)×R²
    abs(-0.39701340--0.39710928)×4.57800771321848e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.57800771321848e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.57800771321848e-05×40589641000000     		ar = 131241.168596741m²