Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28623 / 15025
↖ ↑ ↗
← N 69.316380°
W 22.769165°		 ← 215.76 m → N 69.316380°
W 22.763672°		 →
↑
215.79 m
↓
↑
215.79 m
↓
N 69.314440°
W 22.769165°		 ← 215.78 m →
46 559 m²		 N 69.314440°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436759948730469 y=0.229270935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436759948730469 × 216)
    floor (0.436759948730469 × 65536)
    floor (28623.5)     		tx = 28623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229270935058594 × 216)
    floor (0.229270935058594 × 65536)
    floor (15025.5)     		ty = 15025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28623 / 15025 ti = "16/28623/15025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28623/15025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28623 ÷ 216
    28623 ÷ 65536     		x = 0.436752319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15025 ÷ 216
    15025 ÷ 65536     		y = 0.229263305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436752319335938 × 2 - 1) × π
    -0.126495361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39739690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229263305664062 × 2 - 1) × π
    0.541473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70108881991731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39739690} λ = -0.39739690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70108881991731))-π/2
    2×atan(5.47991078061278)-π/2
    2×1.39029769106238-π/2
    2.78059538212477-1.57079632675     		φ = 1.20979906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39739690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.769165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20979906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.316380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28623 KachelY 15025 -0.39739690 1.20979906 -22.769165 69.316380
    Oben rechts KachelX + 1 28624 KachelY 15025 -0.39730102 1.20979906 -22.763672 69.316380
    Unten links KachelX 28623 KachelY + 1 15026 -0.39739690 1.20976519 -22.769165 69.314440
    Unten rechts KachelX + 1 28624 KachelY + 1 15026 -0.39730102 1.20976519 -22.763672 69.314440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20979906-1.20976519) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dl = 215.785769999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20979906-1.20976519) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dr = 215.785769999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39739690--0.39730102) × cos(1.20979906) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353207396770506 × 6371000     		do = 215.757261064194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39739690--0.39730102) × cos(1.20976519) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353239083478644 × 6371000     		du = 215.776616936757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20979906)-sin(1.20976519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353207396770506-0.353239083478644)×R²
    abs(-0.39730102--0.39739690)×3.16867081383565e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.16867081383565e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.16867081383565e-05×40589641000000     		ar = 46559.4350773534m²