Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28622 / 4702
↖ ↑ ↗
← N 77.846474°
E134.450684°		 ← 257.19 m → N 77.846474°
E134.461670°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
N 77.844161°
E134.450684°		 ← 257.24 m →
66 156 m²		 N 77.844161°
E134.461670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873489379882812 y=0.143508911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873489379882812 × 215)
    floor (0.873489379882812 × 32768)
    floor (28622.5)     		tx = 28622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143508911132812 × 215)
    floor (0.143508911132812 × 32768)
    floor (4702.5)     		ty = 4702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28622 / 4702 ti = "15/28622/4702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28622/4702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28622 ÷ 215
    28622 ÷ 32768     		x = 0.87347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4702 ÷ 215
    4702 ÷ 32768     		y = 0.14349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87347412109375 × 2 - 1) × π
    0.7469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34660711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14349365234375 × 2 - 1) × π
    0.7130126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23999544544598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34660711} λ = 2.34660711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23999544544598))-π/2
    2×atan(9.39328850510547)-π/2
    2×1.46473680948864-π/2
    2.92947361897727-1.57079632675     		φ = 1.35867729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34660711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.450684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35867729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.846474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28622 KachelY 4702 2.34660711 1.35867729 134.450684 77.846474
    Oben rechts KachelX + 1 28623 KachelY 4702 2.34679886 1.35867729 134.461670 77.846474
    Unten links KachelX 28622 KachelY + 1 4703 2.34660711 1.35863692 134.450684 77.844161
    Unten rechts KachelX + 1 28623 KachelY + 1 4703 2.34679886 1.35863692 134.461670 77.844161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35867729-1.35863692) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35867729-1.35863692) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34660711-2.34679886) × cos(1.35867729) × R
    0.000191749999999935 × 0.210531913764594 × 6371000     		do = 257.194049232357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34660711-2.34679886) × cos(1.35863692) × R
    0.000191749999999935 × 0.210571378779613 × 6371000     		du = 257.242261243706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35867729)-sin(1.35863692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210531913764594-0.210571378779613)×R²
    abs(2.34679886-2.34660711)×3.94650150188636e-05×R²
    0.000191749999999935×3.94650150188636e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.94650150188636e-05×40589641000000     		ar = 66155.8073302328m²