Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28620 / 42668
↖ ↑ ↗
← S 47.680183°
W 22.785645°		 ← 411.22 m → S 47.680183°
W 22.780152°		 →
↑
411.25 m
↓
↑
411.25 m
↓
S 47.683881°
W 22.785645°		 ← 411.19 m →
169 109 m²		 S 47.683881°
W 22.780152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436714172363281 y=0.651069641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436714172363281 × 216)
    floor (0.436714172363281 × 65536)
    floor (28620.5)     		tx = 28620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651069641113281 × 216)
    floor (0.651069641113281 × 65536)
    floor (42668.5)     		ty = 42668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28620 / 42668 ti = "16/28620/42668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28620/42668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28620 ÷ 216
    28620 ÷ 65536     		x = 0.43670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42668 ÷ 216
    42668 ÷ 65536     		y = 0.65106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.1265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39768452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.3021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.949150612477112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39768452} λ = -0.39768452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949150612477112))-π/2
    2×atan(0.387069656002848)-π/2
    2×0.369310073221881-π/2
    0.738620146443762-1.57079632675     		φ = -0.83217618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39768452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.785645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83217618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.680183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28620 KachelY 42668 -0.39768452 -0.83217618 -22.785645 -47.680183
    Oben rechts KachelX + 1 28621 KachelY 42668 -0.39758865 -0.83217618 -22.780152 -47.680183
    Unten links KachelX 28620 KachelY + 1 42669 -0.39768452 -0.83224073 -22.785645 -47.683881
    Unten rechts KachelX + 1 28621 KachelY + 1 42669 -0.39758865 -0.83224073 -22.780152 -47.683881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83217618--0.83224073) × R
    6.4549999999941e-05 × 6371000     		dl = 411.248049999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83217618--0.83224073) × R
    6.4549999999941e-05 × 6371000     		dr = 411.248049999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39768452--0.39758865) × cos(-0.83217618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.673268291823609 × 6371000     		do = 411.224038574642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39768452--0.39758865) × cos(-0.83224073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.673220562262417 × 6371000     		du = 411.194885942399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83217618)-sin(-0.83224073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673268291823609-0.673220562262417)×R²
    abs(-0.39758865--0.39768452)×4.77295611918116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77295611918116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77295611918116e-05×40589641000000     		ar = 169109.089554061m²