Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28617 / 20441
↖ ↑ ↗
← N 76.865180°
W101.401062°		 ← 69.41 m → N 76.865180°
W101.398315°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.864556°
W101.401062°		 ← 69.41 m →
4 816 m²		 N 76.864556°
W101.398315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218334197998047 y=0.155956268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218334197998047 × 217)
    floor (0.218334197998047 × 131072)
    floor (28617.5)     		tx = 28617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155956268310547 × 217)
    floor (0.155956268310547 × 131072)
    floor (20441.5)     		ty = 20441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28617 / 20441 ti = "17/28617/20441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28617/20441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28617 ÷ 217
    28617 ÷ 131072     		x = 0.218330383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20441 ÷ 217
    20441 ÷ 131072     		y = 0.155952453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218330383300781 × 2 - 1) × π
    -0.563339233398438 × 3.1415926535     		Λ = -1.76978240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155952453613281 × 2 - 1) × π
    0.688095092773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.16171448836643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76978240} λ = -1.76978240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16171448836643))-π/2
    2×atan(8.68601697466511)-π/2
    2×1.45617340004216-π/2
    2.91234680008431-1.57079632675     		φ = 1.34155047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76978240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.401062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34155047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.865180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28617 KachelY 20441 -1.76978240 1.34155047 -101.401062 76.865180
    Oben rechts KachelX + 1 28618 KachelY 20441 -1.76973446 1.34155047 -101.398315 76.865180
    Unten links KachelX 28617 KachelY + 1 20442 -1.76978240 1.34153958 -101.401062 76.864556
    Unten rechts KachelX + 1 28618 KachelY + 1 20442 -1.76973446 1.34153958 -101.398315 76.864556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34155047-1.34153958) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dl = 69.3801899999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34155047-1.34153958) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dr = 69.3801899999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76978240--1.76973446) × cos(1.34155047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227243174879909 × 6371000     		do = 69.4059148476001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76978240--1.76973446) × cos(1.34153958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227253779962753 × 6371000     		du = 69.4091539128755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34155047)-sin(1.34153958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227243174879909-0.227253779962753)×R²
    abs(-1.76973446--1.76978240)×1.06050828440618e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06050828440618e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06050828440618e-05×40589641000000     		ar = 4815.50792287003m²